轉載自新博客：https://acxblog.site/archives/smst-problem.html

Problem

BZOJ 入門OJ P1634
Luogu P4180 BJWC 次小生成樹

Introduction

首先講非嚴格次小生成樹的做法。

先建立權值之和為\(W\)的最小生成樹。接著枚舉沒有被並入到MST的邊(u,v)（我們將把這條邊加入到MST中，並在原MST中刪去一條最大邊，使新ST仍然聯通），權值為\(W_e\)。查詢樹上u->v的路徑，在路徑選取一個邊權最大值\(W_m\)。則當前枚舉的答案為\(W-W_m+W_e\)。枚舉所有的邊之後，取最小值即可。

基本無需證明。這個代碼就不給了，可以用倍增和樹剖等實現。

接下來講解嚴格次小生成樹的做法。

原方法是枚舉一條邊\(W_e\)，之後再尋找一條MST上的合法最大邊（即在路徑上）\(W_m\)。顯然\(W_e \geq W_m\)，因此可能由此得到的次小生成樹並非嚴格。所以我們可以再查找路徑上的嚴格次小值\(W_{m2}\)，則顯然\(W_e > W_{m2}\)，所以由此得到的生成樹一定嚴格小於MST。同樣枚舉所有的邊，取最小值即可。

順便一提，我這題錯的地方忘記加了這個，跳點的倍增數組：

gup[i][j]=gup[gup[i][j-1]][j-1];

MMP

以及，兩種算法的時間復雜度皆為：\(O(m\ logn)\)

補充：合並嚴格最大值和次大值

假設合並的兩對最大值/次大值分別為\(m_1,s_1,m_2,s_2\)，新的最大值/次大值為\(m,s\)。

我們可以證明，\(m\)一定會在\(m_1,m_2\)決出，則直接在兩個裏取個最大值就行。

然後\(s\)首先在\(s_1,s_2\)取最大值，若\(m_1\)不等於\(m_2\)，再與\(min(m_1,m_2)\)進行比對。

Code

// Code by ajcxsu
// Problem: Second Minium Spanning Tree

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const
 
 int N=1e6+10, M=3e6+10;
struct Edge {
    int u,v;
    ll w;
    bool operator < (const Edge &b) { return w<b.w; }
} e[M];
bool S[M]; // 標記MST
int h[N],to[M],nexp[M];
ll W[M];
int p=1;
inline void ins(int a, int b, int w) {
    nexp[p]=h[a], h[a]=p, to[p]=b, W[p]=w, p++;
}

int fa[N];
int Find(int x) {
    if(!fa[x]) return x;
    return fa[x]=Find(fa[x]);
}
bool Union(int a, int b) {
    int af=Find(a), bf=Find(b);
    if(af==bf) return false;
    fa[af]=bf;
    return true;
}

const int OP=20;
int dep[N], gup[N][OP], ma[N][OP], sma[N][OP];
void dfs(int x, int k) {
    dep[x]=k;
    for(int u=h[x];u;u=nexp[u])
        if(!dep[to[u]]) {
            gup[to[u]][0]=x;
            ma[to[u]][0]=W[u];
            sma[to[u]][0]=-1;
            dfs(to[u], k+1);
        }
}

ll m1,m2;
inline void upd(ll x) {
    if(x>m1) m2=m1, m1=x; // m1的值一定要移到m2
    else if(x<m1 && x>m2) m2=x;
}
void lca(int a,int b) {
    m1=m2=0;
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
    for(int j=OP-1;j>=0;j--)
        if(dep[gup[a][j]]>=dep[b]) upd(ma[a][j]), upd(sma[a][j]), a=gup[a][j];
    if(a==b) return;
    for(int j=OP-1;j>=0;j--)
        if(gup[a][j]!=gup[b][j]) {
            upd(ma[a][j]), upd(sma[a][j]);
            upd(ma[b][j]), upd(sma[b][j]);
            a=gup[a][j], b=gup[b][j];
        }
    int j=0;
    upd(ma[a][j]), upd(sma[a][j]);
    upd(ma[b][j]), upd(sma[b][j]);
}

template <typename T> void gn(T &x) {
    x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘, ch=getchar();
}

int main() {
    int n,m;
    gn(n), gn(m);
    for(int i=0;i<m;i++)
        gn(e[i].u), gn(e[i].v), gn(e[i].w);
    sort(e,e+m);
    ll mst=0;
    for(int i=0, cnt=0;i<m && cnt!=n-1;i++) {
        if(Union(e[i].u, e[i].v)) {
            S[i]=1, mst+=e[i].w;
            ins(e[i].u, e[i].v, e[i].w), ins(e[i].v, e[i].u, e[i].w);
            cnt++;
        }
    }
    dfs(1,1);
    int a[4],ee,ff;
    for(int j=1;j<OP;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            gup[i][j]=gup[gup[i][j-1]][j-1];
            a[0]=ma[i][j-1], a[1]=ma[gup[i][j-1]][j-1];
            a[2]=sma[i][j-1], a[3]=sma[gup[i][j-1]][j-1];
            ee=max(a[0],a[1]), ff=max(a[2],a[3]);
            if(a[0]!=a[1]) ff=max(ff, min(a[0],a[1]));
            ma[i][j]=ee, sma[i][j]=ff;
        }

    ll ans=0x7ffffffffffffll;
    for(int i=0;i<m;i++)
        if(!S[i]) {
            lca(e[i].u, e[i].v);
            if(m1!=e[i].w) ans=min(ans, -m1+e[i].w);
            else ans=min(ans, -m2+e[i].w);
        }
    printf("%lld\n",mst+ans);
    return 0;
}

非嚴格/嚴格次小生成樹問題