4712: 洪水 基於鏈分治的動態DP
阿新 • • 發佈：2018-05-09
matrix top friend static 初始化 tdi 定義 tint pragma 
國際慣例的題面:
看起來很神的樣子......如果我說這是動態DP的板子題你敢信？
基於鏈分治的動態DP？說人話，就是樹鏈剖分線段樹維護DP。
既然是DP，那就先得有轉移方程。
我們令f[i]表示讓i子樹中的葉子節點全部與根不聯通，所需要的最小代價，v[i]為輸入的點權。
顯然f[i]=min(v[i],sigma(f[soni]))，邊界條件是，如果i是葉子節點，則f[i]=v[i]。
我們需要用鏈分治去維護這個DP，所以要把DP拆成重鏈和輕鏈獨立的形式。
我們還是用f[i]表示讓i子樹中的葉子節點全部與根不聯通，所需要的最小代價，h[i]表示i的輕兒子的f值之和。
根據定義，h[i]=sigma(h[light_sons_i])，
同時我們有：f[i]=min(v[i],f[heavy_son_i]+h[i])。
這個轉移我們能寫成一個最短路矩陣相乘的形式:
{0,f[heavy_son_i]}*{{0,v[i]},{inf,h[i]}} = {0,f[i]}
(我的寫法和C++多維數組的表示方法相同，inf表示不能轉移)
顯然(陳俊錕說過)這個矩陣連乘是具有結合性的，所以我們能用線段樹維護一條鏈上轉移矩陣的連乘積。
於是修改的時候，我們只需要從這個點一路改上去，在跳輕邊的時候修改其父親的h值和轉移矩陣，然後線段樹更新即可。
查詢的話就查詢這個點到其所在重鏈底端線段樹上轉移矩陣的連乘積，然後左乘一個初始化矩陣即可。
時間復雜度O(8nlog^2n)，加上fread快讀還是不慢(能看)的。
(其實分析題目性質能夠讓轉移復雜度更低，然而不如矩陣的方法通用(反正就是個常數，不管他了)。關於分析性質的解法，見我BZOJ5210的題解)
代碼:
1 #pragma GCC optimize(2) 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cctype> 6 typedef long long int lli; 7 const int maxn=2e5+1e2; 8 const lli inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll; 9 10 struct Matrix { 11 lli dat[2][2]; 12 Matrix() { memset(dat,0x3fView Code,sizeof(dat)); } 13 lli* operator [] (const int &x) { return dat[x]; } 14 const lli* operator [] (const int &x) const { return dat[x]; } 15 friend Matrix operator * (const Matrix &a,const Matrix &b) { 16 Matrix ret; 17 for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) ret[i][j] = std::min( ret[i][j] , a[i][k] + b[k][j] ); 18 return ret; 19 } 20 }trans[maxn],ini; 21 22 lli v[maxn],f[maxn],h[maxn]; 23 int s[maxn],t[maxn<<1],nxt[maxn<<1]; 24 int fa[maxn],siz[maxn],dep[maxn],son[maxn],top[maxn],id[maxn],rec[maxn],mxd[maxn],iid; 25 int n; 26 27 struct SegmentTree { 28 Matrix dat[maxn<<2]; 29 #define lson(pos) (pos<<1) 30 #define rson(pos) (pos<<1|1) 31 inline void build(int pos,int l,int r) { // Warning :: from right to left . 32 if( l == r ) return void(dat[pos]=trans[rec[l]]); 33 const int mid = ( l + r ) >> 1; 34 build(lson(pos),l,mid) , build(rson(pos),mid+1,r) , dat[pos] = dat[rson(pos)] * dat[lson(pos)]; 35 } 36 inline void update(int pos,int l,int r,const int &tar) { 37 if( l == r ) return void(dat[pos]=trans[rec[l]]); 38 const int mid = ( l + r ) >> 1; 39 tar <= mid ? update(lson(pos),l,mid,tar) : update(rson(pos),mid+1,r,tar); 40 dat[pos] = dat[rson(pos)] * dat[lson(pos)]; 41 } 42 inline Matrix query(int pos,int l,int r,const int &ll,const int &rr) { 43 if( ll <= l && r <= rr ) return dat[pos]; 44 const int mid = ( l + r ) >> 1; 45 if( rr <= mid ) return query(lson(pos),l,mid,ll,rr); 46 else if( ll > mid ) return query(rson(pos),mid+1,r,ll,rr); 47 else return query(rson(pos),mid+1,r,ll,rr) * query(lson(pos),l,mid,ll,rr); 48 } 49 }sgt; 50 51 inline void addedge(int from,int to) { 52 static int cnt = 0; 53 t[++cnt] = to , nxt[cnt] = s[from] , s[from] = cnt; 54 } 55 inline void pre(int pos) { 56 siz[pos] = 1; 57 for(int at=s[pos];at;at=nxt[at]) if( t[at] != fa[pos] ) { 58 dep[t[at]] = dep[pos] + 1 , fa[t[at]] = pos , pre(t[at]) , siz[pos] += siz[t[at]]; 59 if( siz[t[at]] > siz[son[pos]] ) son[pos] = t[at]; 60 } 61 } 62 inline void dfs(int pos) { 63 ++iid , mxd[top[rec[id[pos]=iid]=pos]=pos==son[fa[pos]]?top[fa[pos]]:pos] = iid , h[pos] = f[pos] = inf; 64 if( son[pos] ) dfs(son[pos]) , f[pos] = f[son[pos]] , h[pos] = 0; // pos isn‘t a leaf node . 65 for(int at=s[pos];at;at=nxt[at]) if( t[at] != fa[pos] && t[at] != son[pos] ) dfs(t[at]) , h[pos] += f[t[at]]; 66 f[pos] = std::min( f[pos] + h[pos] , v[pos] ); 67 } 68 69 inline lli query(int pos) { 70 Matrix ret = sgt.query(1,1,n,id[pos],mxd[top[pos]]); 71 ret = ini * ret; 72 return ret[0][1]; 73 } 74 75 inline void update(int pos) { 76 while(pos) { 77 trans[pos][0][1] = v[pos] , trans[pos][1][1] = h[pos] , 78 sgt.update(1,1,n,id[pos]) , pos = top[pos]; 79 if( pos == 1 ) break; // root don‘t have fa . 80 Matrix fs = ini * sgt.query(1,1,n,id[pos],mxd[pos]); 81 h[fa[pos]] -= f[pos] , h[fa[pos]] += ( f[pos] = fs[0][1] ); 82 pos = fa[pos]; 83 } 84 } 85 86 inline char nxtchar() { 87 static const int BS = 1 << 21; 88 static char buf[BS],*st=buf+BS,*ed=st; 89 if( st == ed ) ed = buf + fread(st=buf,1,BS,stdin); 90 return st == ed ? -1 : *st++; 91 } 92 inline char realchar() { 93 char ret; 94 while( !isalpha(ret=nxtchar()) ); 95 return ret; 96 } 97 inline int getint() { 98 int ret = 0 , ch; 99 while( !isdigit(ch=nxtchar()) ); 100 do ret=ret*10+ch-‘0‘; while( isdigit(ch=nxtchar()) ); 101 return ret; 102 } 103 inline int getlli() { 104 lli ret = 0 , ch; 105 while( !isdigit(ch=nxtchar()) ); 106 do ret=ret*10+ch-‘0‘; while( isdigit(ch=nxtchar()) ); 107 return ret; 108 } 109 110 int main() { 111 static int m; 112 n = getint() , ini[0][0] = ini[0][1] = 0; 113 for(int i=1;i<=n;i++) v[i] = getlli(); 114 for(int i=1,a,b;i<n;i++) a = getint() , b = getint() , addedge(a,b) , addedge(b,a); 115 pre(1) , dfs(1); 116 for(int i=1;i<=n;i++) trans[i][0][0] = 0 , trans[i][0][1] = v[i] , trans[i][1][0] = inf , trans[i][1][1] = h[i]; 117 sgt.build(1,1,n); 118 m = getint(); 119 for(int i=1,o,p;i<=m;i++) { 120 o = realchar() , p = getint(); 121 if( o == ‘Q‘ ) printf("%lld\n",query(p)); 122 else if( o == ‘C‘ ) v[p] += getlli() , update(p); 123 } 124 return 0; 125 }
雪の降るこの街にも 暖かい光が差し
雪花飄飛的這條街道上 溫暖光芒從天而降
折れた羽を癒してる 傷ついた心の奧
受傷心靈的深處 被祈願之羽逐漸治愈
足音が聞こえてくる 明日への扉叩いて
我聽到了誰的腳步聲 有人在敲打通往明日的門扉
目の前の道を進む 季節が巡る 時の中で
季節更叠 我在時光之流中踏上眼前的道路
巡る想い あなただけ 笑顏が今もまぶしい
流連的思念 只有你的笑顏直到現在還如此炫目
4712: 洪水 基於鏈分治的動態DP