題目鏈接

BZOJ1025

題解

題意就是問一個\(1....n\)的排列在同一個置換不斷重復下回到\(1...n\)可能需要的次數的個數
和置換群也沒太大關系
我們只需知道同一個置換不斷重復，實際上就是每個循環節的元素不斷在循環節上旋轉，所需次數就是所有循環節長度的\(lcm\)
這一點很顯然

而循環節數量是任意的，長度也可以是任意的，但總和一定是\(n\)
問題就轉化為了有多少個數\(x\)能為總和為\(n\)的一些數的\(lcm\)
如果令\(x = \prod\limits_{i = 1} p_i^{k_i}\)
若\(\sum\limits_{i = 1} p_i^{k_i} \le n\)

問題就轉化為了用\(\le n\)的一些質數\(p_i^{k_i}\)湊出\(\le n\)的數的方案數
顯然就是一個分組背包問題

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
 

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 1005,maxm = 100005,INF = 1000000000
 
;
inline int read(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57){if (c == ‘-‘) flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
    return out * flag;
}
LL f[maxn],ans;
int n,p[maxn],pi,isn[maxn];
void init(){
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        if (!isn[i]) p[++pi] = i;
        for (int j = 1; j <= pi && i * p[j] <= n; j++){
            isn[i * p[j]] = true;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main(){
    n = read();
    init();
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= pi; i++){
        for (int j = n; j >= 0; j--){
            for (int k = p[i]; k <= j; k *= p[i])
                f[j] += f[j - k];
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) ans += f[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

BZOJ1025 [SCOI2009]遊戲 【置換群 + 背包dp】