關於可持久化線段樹

可持久化線段樹可以將歷史版本的線段樹記憶下來，並支持新建版本與查詢歷史版本。

其中有一道經典的靜態主席樹的題就是求區間k大。

建樹的過程其實就是先建一棵空樹，再按輸入順序插入節點。需要新開節點的時候就新開，如果和之前沒有什麽變化的話就連到之前的樹上。這樣的空間復雜度據說是Θ(nlog_n)

由於線段樹支持區間減法，於是我們可以在查詢區間的時候利用前綴和的思想，對於[L,R]的區間，我們可以讓第L-1個線段樹與第R個線段樹相減。

代碼如下：（附有較詳細的註釋。）

 1 //Writer : Hsz %WJMZBMR%tourist%hzwer
 2 #include <iostream>
 3
 
 #include <cstring>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <cmath>
 6 #include <queue>
 7 #include <map>
 8 #include <set>
 9 #include <stack>
10 #include <vector>
11 #include <cstdlib>
12 #include <algorithm>
13 #define LL long long
14 using namespace
 
 std;
15 const int N=200005<<5;
16 int l[N],r[N],sum[N],b[N];//sum表示線段樹區間內點的數量。
17 int n,m,a[N],root[N],tot;
18 int build(int L,int R) {
19     int rt=++tot;
20     if(L<R) {
21         l[rt]=build(L,(L+R)>>1);//建一個空樹。l[rt]表示rt的左兒子。
22         r[rt]=build((L+R)/2+1,R);
23     }
24     return rt;
 
25 }
26 int update(int pre,int L,int R,int c) {//加點，把歷史版本記錄下來。
27     int rt=++tot;
28     l[rt]=l[pre],r[rt]=r[pre],sum[rt]=sum[pre]+1;//pre:上一棵樹的根，因為插入了一個新的點，所以sum肯定比上一個多1。
29     if(L<R) {
30         if(c<=((L+R)>>1))l[rt]=update(l[pre],L,(L+R)>>1,c);//如果插入的點在這個線段樹的左子樹，就遞歸到左子樹。
31         else r[rt]=update(r[pre],(L+R)/2+1,R,c);//同理。
32     }
33     return rt;//返回新建子樹的根節點。
34 }
35 int query(int u,int v,int L,int R,int k) {
36     if(L==R) return L;
37     int x=sum[l[v]]-sum[l[u]];//u:區間左端點的線段樹的根，v:右端點的線段樹的根。
38     //如果左子樹的增加的點數仍舊大於要求的k，那麽就遞歸到左子樹求。
39     if(x>=k) return query(l[u],l[v],L,(L+R)>>1,k);
40     //否則遞歸到右子樹，減去左子樹上的點個數。
41     else return query(r[u],r[v],(L+R)/2+1,R,k-x);
42 }
43 int main() {
44     cin>>n>>m;
45     for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
46     sort(a+1,a+1+n);
47     int u=unique(a+1,a+1+n)-a-1;
48     root[0]=build(1,u);
49     for(int i=1; i<=n; i++) {
50         b[i]=lower_bound(a+1,a+1+u,b[i])-a;//離散化。
51         root[i]=update(root[i-1],1,u,b[i]);
52     }
53     int q,v,k;
54     for(int i=1; i<=m; i++) {
55         scanf("%d%d%d",&q,&v,&k);
56         printf("%d\n",a[query(root[q-1],root[v],1,u,k)]);
57     }
58     return 0;
59 }

可持久化線段樹（主席樹）