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那麽一般的曲線的切線該怎麽定義呢？且看下文！

\(P(x_{0},y_{0})\)和\(Q(x_{0} + \Delta x,y_{0} + \Delta y)\)分別是上圖曲線上不同的兩點（這意味著\(\Delta x \neq 0\)），Q可以選在P的右邊也可以選在左邊（這意味著\(\text{Δx}\)可正可負），稱通過PQ的直線為該曲線的一條割線。在\(\text{Δx}\)不斷逼近於0的過程中，點\(Q\)不斷逼近於P，


來看這個過程中的產生的割線\(\text{PQ}\)、\(PQ^{'}\)、\(\text{PQ}^{''}\)…，它們不斷逼近一條過點P並且剛剛（不是“僅僅”）接觸點P的直線（the line through P which “just touches”the curve at P）——圖中的\(PP^{'}\)

這條直線，\(PP^{'}\)就叫作曲線在點P處的切線（割線的極限位置就叫作切線），這些割線的斜率\(\frac{\Delta_{y}}{\text{Δx}}\)逼近的就是切線\(PP^{'}\)的斜率，如果該函數在P處有導數\(f^{'}\left( x_{0} \right) = \operatorname{}\frac{\Delta_{y}}{\text{Δx}}\)，那麽顯然\(f^{'}\left( x_{0} \right)\)也是切線的斜率¹。

必須明確指出的是點\(\mathbf{Q}\)必須分別從左右兩邊逼近於點P並且過程中的產生的割線\(\mathbf{\text{PQ}}\)

、\(\mathbf{P}\mathbf{Q}^{\mathbf{'}}\)、\(\mathbf{\text{PQ}}^{\mathbf{''}}\)…都要逼近於同樣的極限位置才能說曲線在P點有切線²。如何判斷Q分別從兩邊向P逼近時產生的割線的極限位置是否相同呢？當然不能憑眼睛看一看就說位置相同，我們可以先計算Q從左邊向P逼近時產生的割線的斜率的極限，然後再對比Q從右邊向P逼近時產生的割線的斜率的極限，若二者相等，那麽就可以斷定Q分別從兩邊向P逼近時產生的割線的極限位置相同。通過這個判定條件我們可以知道一些有尖角的曲線在尖角處沒有切線，比如y=|x|在(0,0)處就沒有切線（左邊的割線斜率極限是-1，右邊的是1，二者不等），下圖的曲線在P處（尖角）也同樣沒有切線。

一個函數如果在某點具有導數（要求左導數等於右導數），那麽其圖像在該點必然也具備上述切線存在的要求，所以函數在某點有導數預示著其圖像在該處有切線，反之則不然，比如對於\(y = x^{\frac{1}{3}}\)的圖像，

其在x=0處並無導數（我們要求導數值必須是實數，但此處非也，所以“無導數”），但是函數圖像在x=0處的切線就是縱軸x=0，可以通過將函數圖像旋轉90°後用本文中切線定義的方法證明之，所以函數在某點無導數並不能說明其圖像在該處無切線。

現在我們對比一下本文中切線的定義和文章開頭提到的圓或橢圓的切線定義——不難發現，本文中切線的定義除了適用於給圓或橢圓定義切線外，還適用於給很多別的曲線定義切線，也就是說本文中切線的定義具有更廣泛的意義，在接受了這個更廣義的切線定義後我們便不再拘泥於中學時期的切線定義，下面兩圖中的水平直線均為曲線在P點處的切線，並且切線和曲線不再只有一個交點，另外圖中的切線也穿過了曲線，有些書上介紹初等的切線定義時要求切線不能穿過曲線，但在廣義切線定義中便再無此要求³。


為什麽要研究切線呢？促使數學家們研究這個問題的原因之一是始於十六世紀的最優化問題，比如在幾何、機械和光學領域求最大值或最小值的問題⁴，解決起來要用到切線，深入了解可看Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Section 3.6, Part b.

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1. Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 4，Section 1?

2. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P156?

3. Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 4，Section 2?

4. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P156?

曲線切線的定義和導數（極限）