印度數學家拉馬努金
（這篇文章出自《數學家思想文庫 一個數學家的辯白》，我做了一些校對和修正。）
本文系哈代於1936年8月31日在哈佛文學和科學三百年紀念大會上發表的演講。詳見本文末的註釋。

在這些演講中我賦予自己一項真正困難的使命，如果我打算一開始就提出種種失敗的理由，那我就會說這個使命幾乎是不可能完成的。我必須親自，並盡力幫助你們，對近代數學史上這位最浪漫的人物做出某種理智的評價，而我從未真正做出過這種評價；這個人的一生充滿了矛盾和爭議，他違反幾乎一切我們常用來評判他人的原則，所有人對他的評價，大概只有一點是一致的，那就是，在某種意義上，他是一位非常偉大的數學家。

評價拉馬努金的困難之處顯而易見，十分艱難。拉馬努金是印度人，我想，一個英國人和一個印度人要徹底相互理解總會有困難。他充其量只是半受教育的印度人；從未在接受正統的印度教育方面勝人一籌，何況這種教育原不足稱道。他沒能通過印度大學中的“一等文科考試”，甚至從未湊合著當上“不及格的文學士”。他一生中大部分時間都在對現代歐洲數學完全無知的情況下工作，30歲出頭就去世了，而這時，某種意義上，他幾乎還沒開始受到數學教育。他發表的作品很多——論文集有將近400頁的一大卷——但還留下了大量未發表的工作，直到近幾年才被徹底地分析。這些工作包含許多新東西，但更多的是再發現，而且通常是不完善的再發現。有時候，依然做不到區分哪些結果是他重新發現的，哪些可能是他學來的。甚至今日，我也想象不出有誰能確定無疑地評判，他是一個多麽偉大的數學家，更不必說有誰敢肯定地判斷，他本可能成為多麽偉大的數學家。

這些都是確實無疑的困難，但是我想我們會發現其中有些難處不像看起來那麽可怕，而就我來說，最大的困難與拉馬努金數學生涯的明顯悖謬無關。我的真正困難在於，某種意義上，拉馬努金是我的發現。我沒有發明他——像一切偉人一樣，他發明了自己——但在有幸看到他的某些工作的人中，我是第一個夠資格的人。我立刻就看出我發現了一塊怎樣的瑰寶，至今回想此事，我仍對自己感到非常滿意。我想我比任何人都更了解拉馬努金，我依然是拉馬努金這一特殊課題的首要權威。對於拉馬努金的某部分工作，英國還有別的人比我更熟悉，尤其是沃森(Watson)教授和莫德爾(Mordell)教授，但無論沃森還是莫德爾都不像我那樣熟悉拉馬努金本人。好幾年裏，我幾乎天天見他，同他聊天，最重要的是，我切實地同他合作過。在這個世界上，除了一個人①之外，我得益於他勝過得益於世上其他任何人，同他的交往是我生命中一段浪漫的插曲。我的難處不在對他了解不夠，而在於我了解和感受得太多，以至於我就是做不到不偏不倚。

關於拉馬努金的生平事跡，我引用耶爾和拉奧，他們寫的拉馬努金回憶錄，同我寫的回憶錄一起發表在拉馬努金的《論文集》中。拉馬努金1887年出生於馬德拉斯管區坦焦爾(Tanjore)縣的一個中型鎮——貢伯戈納姆附近埃羅德的一個婆羅門家庭。他父親是貢伯戈納姆一家服裝商店的店員，他的親戚們種姓都很高，但很貧窮。①指J．E．利特爾伍德。——一譯註

7歲時他被送到貢伯戈納姆中學，在那兒讀了9年。在10歲之前他的特殊才能就已使他脫穎而出，到12或13歲時，人人都知道他是個天賦異稟的孩子。他的傳記作者講述了他早年一些有趣的故事。例如，他們說，開始學習三角學後不久，他就獨立發現了“歐拉正弦和余弦定理”(照我的理解，這是說圓函數和指數函數之間的關系)，後來他從龍內的《三角學》第二卷中看到這是一個已知結果時失望之極。直到16歲為止，他從未見過高層次的數學書。那時惠特克(Whittaker)的《現代分析》還沒有流傳到那麽遠的地方，布拉米奇的《無窮級數》還沒出版。毫無疑問，如果得到這兩本書中的任何一本，都將大大改變他的人生之路。然而另一本完全不同類型的書，卡爾的《概要》，最先激發了拉馬努金的全部天賦。
卡爾的書(《純粹和應用數學基本結果概要》，作者G．S．卡爾從前是劍橋岡維爾和凱厄斯學院的學者，該書（1880和1886年出版兩卷)現在幾乎找不到了。劍橋大學圖書館存有一份復本，恰巧貢伯戈納姆政府大學圖書館中有一本，拉馬努金的一個朋友幫他借到了它。這本書在任何意義上都不是一本出色的書，但拉馬努金使它成名，無疑這本書對拉馬努金產生了深遠的影響，讀熟這本書，便是他數學生涯的真正起點。這樣的書定然有它自身的品質，縱使卡爾的書不是什麽高級的書，但也絕非三流的教科書，而是一本以真正的學者身份和熱情寫成的、具有自身的風格和特點的書。卡爾本人是倫敦的一位私人教師，大約40歲時來到劍橋做學生，是1880年數學榮譽學位考試第12名(同年他出版了著作的第一卷)。現在除了拉馬努金使他名聲不朽，已經無人記得他了，甚至在他自己的學院裏也是如此。但他定然是一個在某些方面相當出色的人。
我猜想這本書實質上是卡爾輔導筆記的概要。如果你是卡爾的一名學生，學習了《概要》中的適當章節。該書大約包含了現在的數學榮譽學位考試A等級部分的課題(因為這些課題在1880年劍橋大學已為人所理解)，並且確實像它自稱的那樣是個“概要”。它包含了6165條定理的闡述，這些定理系統而十分科學地排列著，附上的證明絕對是這本書中最無聊的部分，通常只比參見書中其他定理稍詳細一點兒。所有這些特點在拉馬努金著名的筆記本(它實際上完全沒有證明)中被放大了，學習筆記本的學生都看得出，拉馬努金展示定理的方式完全沿襲自卡爾的書。
卡爾書中有些章節討論代數，三角學，微積分和解析幾何等常見的科目，但不同章節描繪的詳盡程度不一樣，尤其是積分的形式理論，這似乎是卡爾寵愛的專題，對它的論述非常充分而且講的特別好。沒講函數論，我非常懷疑拉馬努金，直至他生命的盡頭，是否完全清楚地弄懂過什麽是解析函數。更為令人吃驚的是，考察卡爾本人的興趣和拉馬努金之後的工作，都沒有談及橢圓函數。不管拉馬努金怎麽獲得他關於這一理論的非常奇特的知識，它不是來自卡爾。
總之，作為對於具有如此不尋常天賦的孩子的鼓舞者，卡爾不算太糟，而且拉馬努金的反應則令人驚艷。他的印度傳記作者①，寫道：

在這個向他打開的新世界裏，拉馬努金興高采烈地漫遊著。正是這本書喚醒了他的天賦，他開始證實書中給出的公式。由於沒有其他書的幫助，就他所及，每個解法都是一項研究……拉馬努金曾說娜瑪 ￥卡(Namakkal)女神在夢中用公式向他啟示。有一個令人印象深刻的事實，他經常在起床時記下結果並迅速地證明它們，不過一般不能給出嚴格證明……
①引文(除那些出自我自己關於拉馬努金的回憶錄外)出自耶爾和拉奧。——原註

我有意引用最後幾句話，不是因為我重視它們——我同你們一樣對娜瑪￥ 卡女神毫無興趣——而是因為我們正接近於拉馬努金生涯中困難和悲劇性的部分，我們必須盡自己所能去努力理解他的心理狀態以及早年籠罩在他周圍的氣氛。
我肯定拉馬努金並不神秘，除在一種嚴格的物質意義上，宗教在他的生活中並不重要。他是正統的、高種姓的印度人，通常謹守(在住在英國的印度人中，他謹守的嚴厲程度極為罕見)所有他的種姓的規矩。他曾向父母許諾這樣做，並在字面意義上恪守他的諾言。他是最嚴格的素食者——後來他生病時，這一點使他過的非常困難——他在劍橋的日子裏總是自己做飯，而且一定要先換上教徒穿的寬松衣褲再做。
發表在《論文集》上的兩篇關於拉馬努金的回憶錄(都是由在不同側面對拉馬努金很熟悉的人寫的)在關於他的宗教信仰方面觀點截然相反。耶爾和拉奧寫道：
拉馬努金有明確的宗教觀，他對娜瑪￥ 卡女神懷有特殊的崇敬……他相信至高神的存在以及肉身成神……他已樹立起關於此世與彼世問題的信念。…．
而我寫道：
……他的宗教觀念不過是對儀式的謹守而非頭腦清醒的信念，我清楚地記得他告訴我(令我很吃驚)在他眼裏，所有的宗教都或多或少同樣真實……
我們誰是對的?對我來說，根本毫無疑慮，我十分自信我是對的。
我相信古典文學學者在文獻批評學中有一個基本的校勘原則——difficilior lectio potior ——越難解讀的越準確。如果坎特伯雷大主教告訴一個人他信仰上帝，而告訴另一個人他不信，那麽第二個闡述更可能是事實，因為若非如此，就無法解釋他為什麽這麽說，而有太多出色的理由可以解釋為什麽他要作第一個闡述——無論它是否為真。類比一下，如果像拉馬努金這樣嚴格的印度教徒告訴我——他確實這麽做了——他並沒有確定的信仰，那麽有100:1的概率，他說的是真實想法。

這個想法不足以讓拉馬努金傷害他雙親及他的印度朋友的感情。他不是一個理性的無神論者，而是一個嚴格意義上的“不可知論者”，他認為印度教或其他宗教都沒有什麽特別的好處或壞處。印度教比起，比方說吧，基督教來，更是一種謹守規矩的宗教，是否有信仰簡直無足輕重。如果拉馬努金的朋友覺得他接受了這種宗教傳統的教義，那麽拉馬努金沒有必要去讓他們幻滅，事實上，他實行著十分無害的，可能確有必要的少說真話原則。

關於拉馬努金信仰的這個問題本身並不重要，但也不算完全離題，我確實希望盡我所能地著重強調一件事。拉馬努金身上難以理解的東西已經夠多了，沒有必要再誤入歧途，捏造神秘感。就我而言，我足夠喜歡他、愛慕他，因此我希望以理性主義者的態度來談論他。我想向你們說清楚，當拉馬努金健康舒適地在劍橋生活時，盡管有些古怪，他和這裏所有人同樣理智，健全，並且以他特有的方式，同樣敏銳。我最不想看到你們做的事情就是舉起雙手承認“他身上有一些超乎理性的事情，古老的東方智慧，不可思議的現象。”我才不相信什麽古老的東方智慧，我想介紹給你們的是一個像其他偉人那樣有自己小怪癖的人，但卻是個可以與人交往的，人們能以與他飲茶交談，討論政治和數學為樂的人。總之，我要給你們看的不是來自東方的奇跡，也不是蒙神啟示的白癡或心理怪誕的變態，而是一個恰巧成為偉大數學家的理智之人。

直到大約17歲，拉馬努金都過的挺好。
1903年12月，他通過馬德拉斯大學的入學考試，翌年一月進入貢伯戈納姆政府大學的初級文科班學習，並獲得蘇布拉馬尼亞姆(Subrahmanyam)獎學金，這一獎學金通常授予精通英語和數學的學生…．．．
但此後，一系列悲劇發生了。
到那時，他如此專心於數學研究，以致於把所有的課時——無論英語、歷史還是生理學——都用於從事數學研究，對班裏發生的事漫不經心。過度投入於數學，長期忽視其他學科，致使他未能升入高年級，隨後獎學金也中斷了。由於失意，也由於朋友的影響，他逃跑去了北邊的泰盧固(Telugu)地區，但浪遊了一段時間，又返回貢伯戈納姆，重新進入大學。由於缺課，1905年他沒能保證足夠的出席率以得到學期證明。1906年，他進入馬德拉斯的帕凱亞帕(Pachaiyappa)學院，但因病又回到貢伯戈納姆。1907年12月，他以個人學生身份參加一等文科考試，沒有通過……
直到1912年，除數學之外，拉馬努金似乎沒有固定的職業。1909年他結婚了，必須找個長期，但由於他不幸的大學經歷，找工作非常困難，大約1910年，他找到了比較有影響的印度朋友，拉馬斯瓦米· 耶爾和他的兩位傳記作者。他們盡力幫他找一個過得去的職位，但所有的努力均告失敗。1912年，他做了馬德拉斯港務局辦公室的辦事員，年薪大約30英鎊，那時，他差不多25歲，18至25歲是數學家一生中至關重要的年齡段，這段時光已經毀了。他的天賦再也沒能得到充分發展。
拉馬努金此後的生活，無甚可談。他第一篇有價值的論文發表於1911年，1912年他的超常天分開始為人所理解。值得註意的是，盡管印度人對他很友好，但唯有英國人有能力為他做些實事。斯普林(F．Spring)先生和沃克(G．Walker)先生幫他弄到了特別獎學金，每年60英鎊，足以讓一個已婚的印度人過得比較舒適。1913年初他寫信給我，我與內維爾(Neville)教授克服了重重阻礙，1914年把他帶來英國。在這裏，整整三年，他毫無間斷地活躍工作著，其成果你們可在《論文集》中讀到。1917年夏天他得了病，再未真正康復，他仍繼續工作，當然只能斷斷續續地進行，但直到1920年逝世為止，也沒有明顯的水準下降跡象。1918年初，他成為皇家學會會員，同年稍晚，他成為劍橋大學三一學院研究員(他是第一個同時獲得這兩個頭銜的印度人)。去世前2個月他寫了最後一封數學信，主題是“仿-函數"，這也正是去年沃森教授向倫敦數學會做的主席演講的題目。

拉馬努金真正的悲劇不是早逝。當然任何偉人過早謝世都是災難，但30歲以上的數學家通常已比較老，他的死看似悲哀，也許實則不然。阿貝爾死於26歲，縱使他定然本可能為數學增添許多內容，但他似乎難以變得更偉大。拉馬努金的悲劇不在於他的夭亡，而是，在那不幸的5年中，他的天賦被引向歧途，受到束縛並在某種程度上被扭曲。
重讀16年前我寫的關於拉馬努金的文字，雖說如今我比當初更了解他的工作，憶念起他也不復那般熾情，但我找不到太多特別想修正的地方。在我如今看來，只有一句話不可原諒。我寫道，

關於拉馬努金的工作有多重要，該用什麽樣的標準來評判他，他會給未來的數學帶來多大的影響，人們可能會眾說紛紜。他的工作缺乏最偉大的工作所特有的簡明和必然性；如果它們不那麽奇特的話，會更偉大些。然而這些工作有一樣閃光點，是不容否認的，即深刻和無可匹敵的獨創性。若是他在年輕時更早被抓住和接受數學訓練，他可能會成為一個更偉大的數學家，會發現更多全新的，並且，無疑是，更重要的東西。在另一方面，那樣他就會變的不再像拉馬努金，而更像一位歐洲教授，所失也可能會大於所得。

我堅持以上的觀點，只除開最後一句話，它著實是荒謬的感情用事。當貢伯戈納姆大學將他們曾擁有的一位偉人拒之門外時，他們當然一無所獲，而損失卻不可彌補。這是我所知道的無能，僵化的教育體制造成損害的最糟糕的例子。他要求得那麽少，只要五年裏每年給他60英鎊，讓他與任何有真知灼見並稍微有點想象力的人偶爾能有接觸，這世界就會得到又一個最偉大的數學家。
拉馬努金給我的信全文重印在《論文集》中，包括大約120條定理的簡略敘述，大部分是從他的筆記本中摘錄的規範的恒等式。我引用了很有代表性的15條，其中有兩條定理(14)和(15)，它們與其他定理一樣有趣但其中一條是錯的，另一條，這麽說吧，是誤入歧途了。其余的後來都被某些人證實了，尤其是羅傑斯(Rogers)和沃森找到了特別困難的定理(10)一(12)的證明

(1)

(2)

(3)

(4)
(5)

(6)

(7)若,則

(8)

(9)

(10)

若

,

則

(11)

(12)

(13)若且
則
(14)展開後，的系數為最接近的整數

(15)A與x之間的平方數或兩平方數之和的個數是

其中與前面的積分相比很小

我希望你們試著想像普通的數學教授收到一位籍籍無名的印度職員這樣一封信時的第一反應。
第一個問題是我是否能看出什麽東西。我自己證明過頗像(7)那樣的公式，對(8)模模糊糊有些熟悉。事實上(8)是經典的，它是拉普拉斯的一個公式，最早由雅可比證明。(9)出現在羅傑斯1907的一篇論文裏。作為一位定積分專家，我也許可以證明(5)和(6)，後來的確做到了這一點，盡管遇到的麻煩比我預想的要多得多。總之，積分公式看來沒給人留下什麽特別印象。
我發現級數公式(1)一(4)更有趣，很快就明顯看出，拉馬努金一定掌握了更基本的原理，袖裏還有乾坤。第二個是勒讓德(A．M．Legendre)級數理論中很著名的一個鮑爾(Bauer)公式，但其余的公式看似簡單實際很難。如今可以在貝利(Bailey)關於超幾何函數的劍橋小冊子中找到這些公式的證明。
公式(10)一(13)有著截然不同的水準，顯然既困難又深奧。橢圓函數方面的專家能夠立刻看出(13)是以某種方法從“復乘法”理論中推導出來的，但(10)一(12)完全難倒了我，我從未見過與它們有絲毫相像的公式。單單瞧一眼就足以明白這些公式只能出自最高級的數學家之手。它們一定是對的，否則的話，沒人能具有這樣的想象力去發明它們。最後(你必須記住當時我對拉馬努金一無所知，不得不考慮每種可能性)，作者必定完全誠實，因為具有這種不可思議的水平的小偷和騙子比偉大的數學家更難找到。

最後的兩個公式分開列出是因為它們不正確，這表現了拉馬努金的局限，但仍然足以作為拉馬努金非凡才能的額外證據。(14)中的函數是系數的真正近似，盡管不像拉馬努金想象的那麽接近。可以說，拉馬努金的錯誤式子是他曾做出的最富成果的工作之一，因為它最終指引了我們在劃分數上的一切合作研究。最後(15)，雖然確實是“對的”，卻一定會使人誤解(拉馬努金真的陷入了誤解)。作為一個近似，式中的積分並不比1908年蘭道(Landau)發現的簡單函數

（16）

更精確。拉馬努金因素數分布問題的一個錯誤類推被引入歧途。我稍後再談拉馬努金在數論方面的工作。
若要細究，必定會看出，拉馬努金很大一部分的工作是早已發現的。他面臨著不可逾越的障礙，一個貧窮孤寂的印度人和歐洲人世代積累起來的智慧拼腦子。他根本未曾得到真正的教育，印度沒人有這個水準教他。他充其量只能見到三四本高質量的書，都是英語的。有段時間，他去了馬德拉斯的圖書館，但那不是一個好的圖書館，只有極少的幾本法文或德文書，而且無論如何拉馬努金對這兩門語言一竅不通。我估計拉馬努金在印度的最好工作大約三分之二是再發現，在他有生之年，只有相當少的一部分發表出來，不過沃森系統研究他的筆記本後發掘了更多的東西。
拉馬努金發表的大部分工作是在英國做出的，他的頭腦已經僵化到一定程度，根本不可能變成“正統”的數學家，但他還是學會了做新的工作，而且做得非常棒。系統地從頭教他是不可能的，但他逐漸吸收了一些新觀念。特別是他學會了什麽叫證明，他後期的論文，雖然在某些方面和從前一樣奇異和特別，但讀來已像受過良好教養的數學家的作品。不過他的方法和工具實質上從未變更。有人可能以為拉馬努金這樣的形式主義者會對柯西(Cauchy)定理著迷，可是他從未用過它，他形式方面才能的最驚人的明證就是他從沒有必要用它。
很容易將拉馬努金再發現的定理匯編成一個令人印象深刻的表。這樣一個表當然不會很清晰，因為有時他只發現了定理的一部分，有時雖然發現了完整的定理，但只要他能徹底理解這個定理，就能找到證明，而他卻沒找到。例如，在解析數論中，從某種意義上說他發現了很多，但遠未理解這門學科的真正難點。他的一些工作，主要是橢圓函數論方面，仍然有好些沒弄清楚的地方。在沃森和莫德爾盡力研究之後，還是不可能區分哪些是他蒙出來的，哪些是他自己真正發現的。我只選取其證明在我看來還算清楚的例子。①也許從未用過。在《論文集》第129頁有一處“余數理論”的引用，但我確信這是我本人寫的。一一原註
在這裏我得承認我該受責備，因為有許多事情我們現在想知道，而我原可以輕易弄清楚。我幾乎天天見拉馬努金，稍加探問就能澄清大部分疑問。拉馬努金能夠而且願意坦率回答，絲毫不會對他的成就故弄玄虛。我幾乎沒有問過他哪怕一個這種問題，我甚至從未問過他是否(我想他一定讀了)讀過凱萊(Cayley)的或格林希爾(Greenhill)的《橢圓函數》。
現在我對此表示抱歉，但此事並不真的有關緊要，其實是很自然而然的事。首先，我不知道拉馬努金會死。他也不愛整天惦記著自己的過去和心理活動，他是一個熱心工作的數學家。歸根結底，我也是數學家，一個數學家遇到拉馬努金之後有的是遠比回顧過往更有意思的事情值得去想。當拉馬努金幾乎每天都將半打新公式拿給我看時，為他如何發現這個或那個已知的定理而去煩他好像很可笑。

【資料】印度數學家拉馬努金（二）

【資料】印度數學家拉馬努金（一）

我認為拉馬努金在古典數論中發現的不多，或者說他了解的確實也不多。任何時候他對算術形式的一般理論都一無所知，我懷疑在來這裏之前他是否懂得二次互反律。丟番圖方程應該很適合他，但他在這方面做得比較少，做出的也不是他最好的工作。他給出歐拉方程

(17)

的解形如

（18）

以及

（19）

但這兩個都不是一般解

他重新發現了施陶特（von Staudt）關於伯努利數的著名定理：

（20）

其中是使得是約數的奇素數，是一個整數。很難說出他在何種意義上證明了這個定理，因為發現它時，他還幾乎不明確知道什麽是證明。正如利特爾伍德所說：“證明一詞的清晰定義，如今人們已經太熟悉了，幾乎相信這是與生俱來的概念，可他也許根本還不懂它。有時偶爾會出現一點有意義的推理片斷，論據和直覺的徹底混合讓他確信，除此之外他就不管了。”稍後我將談一談這個關於證明的問題，但要推遲到更重要的一段中。在這個定理上，還沒有什麽明顯超出拉馬努金的證明能力範圍的東西。

很重要的一部分是關於數論的，特別是將整數表示成平方數之和的理論，它與橢圓函數理論關系密切。例如能表示成兩個平方數的之和的的表示方法個數是
（21）

其中 是形如的的因數的個數，是形如的的因數的個數，雅可比給出了4,6，和8個平方數的類似公式。拉馬努金發現了所有這些，還有相同類型的另外一些公式。
他還發現了勒讓德定理，即可寫成3個平方數之和，除非它具有

（22）

的形式。但我不認為他發現這個算是多重要的事情。這個定理極易猜到但難以證明。所有已知的證明都依賴於三元形式的一般理論，而拉馬努金對此一無所知，我同意迪克森(Dickson)教授認為他很可能一點兒也沒掌握這一理論的觀點。無論如何他對於表示的數目一無所知。
這樣，拉馬努金在來英國之前，對數論的貢獻寥寥無幾。但若不能理解他對數字本身的熱愛，便無法理解他。我曾寫道：
他能以幾近不可思議的方式記住數字的特性。利特爾伍德先生評價（我相信是他說的）“每個正整數都是他的私人朋友。”我記得有一次，他在帕特尼臥病在床，我去探望他。來時坐的出租車號是1729，我說，這個數字（=7×13×19）在我看來相當無趣，但願這不是什麽不祥之兆。“不”他回答道“這是個非常有趣的數，它是最小的能以兩種不同方式寫成兩立方和的數。①”我自然而然地問他，能否告訴我四次方情況下的解是多少，想了一會兒之後，他回答說，找不到明顯的例子，他認為這樣的第一個數一定非常大。②
①——原註

②已知的最小數例由歐拉給出：——原註
在代數方面，拉馬努金的主要工作涉及超幾何級數和連分數(當然我是在傳統意義上用代數這個詞的)。這些課題簡直是為他量身定做的，他是這些領域中無可非議的大師之一。現在有三個著名的恒等式，“杜格爾(Dougall)—拉馬努金恒等式”：

(23)

其中

和“羅傑斯-拉馬努金恒等式”：

(24)

英國數學家比拉馬努金更早發現這些恒等式，我將在其他的演講中談論這些恒等式。至於超幾何級數，可以粗略的這麽說，他重新發現了規範理論，這理論發表貝利的小冊子裏，直到1920年才為人們所知。卡爾的書中談到過一些這個理論，克裏斯托爾(Chrystal)的《代數學》中寫得更多，無疑拉馬努金是從這些書起步的。(1)一(4)這四個公式是他超幾何級數工作中非常獨特的例子。
他在連分數方面的傑作是包含定理(10)一(12)的關於

(25)

的工作。這一分數理論依賴於羅傑斯—拉馬努金恒等式，羅傑斯在拉馬努金之前做出了這個工作，但他在別的方面超過了羅傑斯，而且我所引用的定理是拉馬努金自己發現的。他還得出其他的許多適用範圍廣而且相當漂亮的公式，其中像拉蓋爾(Laguerre)公式的

(26)

是極獨特的例子。沃森①最近證明了其中最令人印象深刻的公式。拉馬努金的工作也許在這些領域中做得最好。我曾寫下：
①見G，N．沃森，“劍橋哲學會進展。，1935，卷31，第7頁。
他對代數公式的洞察力，無窮級數變換的能力等等，實在是最令人驚羨的。在這方面，我絕未見過堪與他旗鼓相當的人，只能拿他和歐拉或雅可比相提並論。他遠比大多數現代數學家更偏好從歸納數例中得出結果，比方說，他對劃分數的同余性質研究，就完全是這麽來的。然而憑著他的記憶力，耐心，計算能力，再綜合起他歸納推廣的力量，對數學形式的直覺，迅速修正自己假設的能力——這些往往著實令人稱奇——使得他，在他自己的領域內，當世無人可敵。
如今，我絕不認為這種特別激烈的措辭太言過其實。也許公式的偉大時代已然結束，拉馬努金原該生在100年前；但他至今仍是他的時代中最偉大的公式主義者。過去50年裏，有的是比拉馬努金更重要的——我猜有人一定會說是更偉大的——數學家，然而無人能在他獨有的領域中對抗他。若要玩一場他懂得比賽規則的遊戲，他可以讓給世界上任何數學家15分。
在分析方面，拉馬努金的工作定然不會給人以深刻印象，因為他不懂函數論，離開函數論就無法從事真正的分析。他從卡爾或其他的書中只能學到積分的形式部分，而這些已經被人反復和深入細致地研究過了。然而拉馬努金仍然重新發現了數量驚人的最為優美的解析恒等式。黎曼Zeta函數的函數方程

即

（27）

(用一種幾乎認不出來的符號）記在筆記本中。還有泊松（Poisson）的求和公式

（28）

其中

且。此外還有阿貝爾函數方程

（29）

其中

最近沃森，蒂奇馬什(Titchmarsh)和我自己做的關於“傅裏葉(Fourier)函數核”及“反商函數”的工作，大部分的基礎規範思想都來源於拉馬努金，當然他能夠求出任何可求值的定積分的值。有一個特別有趣的公式，即
(30)

這個公式他特別喜歡，老是用它。這是一個真正的“內插公式”，它使我們可以得出一些結論，例如在一定條件下，自變量的所有正項積分值為零的函數一定也為零。雖然這個公式與梅林(Mellin)及其他人的工作密切相關，但我從未見到過其他人明確地論述過它。①這個方程被羅傑斯重新發現，而且羅傑斯在《論文集（337頁）》中認為是他的發現；但在阿貝爾死後未完成的作品中也發現了這個方程。——原註
還剩下拉馬努金早期工作中最迷人的最後兩個方面，橢圓函數和解析數論。第一方面，除了專家以外，可能任何人都會認為它太過專業復雜，難於理解，現在我不打算談它，第二個科目其實更難(讀過蘭道關於素數的書或英哈姆[Ingham]小冊子的人都知道這一點)，但人人都能大致理解這個課題中的問題，而且每個不錯的數學家都能大概明白何以這些問題擊敗了拉馬努金。這是拉馬努金真正的失敗，一如既往，他展示了驚人的想象力，但隨後他什麽也沒證明，甚至他想象的也有許多是錯的。
這裏我不得不就一個非常困難的題目多說幾句：證明及其在數學中的重要性。一切物理學家和許多非常可敬的數學家都輕視證明。例如，我聽說埃丁頓教授認為：“純粹數學家理解的那種證明，實在乏味之極而又無足輕重，確定自己發現了某種好東西後，誰會再浪費時間去尋找證明呢？”事實上埃丁頓是自相矛盾的，有時他甚至屈尊去做證明。對於他來說，只知道宇宙中正好有個質子並不夠，他禁不住誘惑要去證明它。我不禁想，無論這個證明的價值怎樣，它給他帶來了某種智力上的滿足感。毫無疑問他會辯解說“證明”對他和對一位純粹數學家的意義截然不同，無論如何我們不必過多地去咬文嚼字。但對於他的觀點——我相信這觀點也是幾乎所有物理學家都打心底同意的——身為數學家，我有義務做出某種答復。
我不打算糾纏於分析一個特別微妙的概念，但我想，關於證明，有幾個觀點是差不多所有數學家都贊成的。首先，即使我們並不確切地理解什麽是證明，但不管怎樣，在普通分析中，我們看到證明時，總能認出來。其次，在任何證明的敘述中都有兩個不同的動機，第一個動機是保證結論的說服力，第二個動機是，從一系列已知正確的命題開始，把它們按一定順序排列起來，按慣用的模式推論，最後得出所要的結論。經驗表明，除了在最簡單的數學中，這兩種動機，如果不實現第二個，就幾乎不可能實現第一個。我們可以直接看出5或17是素數，但如果不去證明，沒人能確信是一個素數。沒人能擁有這樣生動和深刻的想象力。
數學家經常通過直覺的嘗試來尋找定理，結論看來似乎是對的，於是他著手於構造證明。有時候這是按部就班的流程，任何受過良好訓練的專業人員都能完成，然而想象往往是極不可靠的向導。在解析數論中尤其如此，連拉馬努金的想象力也將他引入不可救藥的迷途。
有一個驚人的錯誤假設，我經常用它作為範例，它甚至差點得到高斯的認可，駁倒它花了大約100年的時間。解析數論的中心問題是素數分布問題。小於一個大數的素數個數大約為
(31) ；
這就是“素數定理”，數學家們早就猜到了它，但直到1896年被阿達瑪(Hadamard)和瓦萊—普桑證明後，這個定理才算是站住腳了。去掉近似誤差，更好的結果是
(32)①
在某些情況下，更精確的結果是
(33)
(現在我們不必為級數構成的規律而煩惱)。很自然地推出，對無論多麽大的
(34)

①取積分主值

高斯和其他數學家都認為這個猜想非常可能是真的。這個猜想不但看起來有道理，而且得到所有事實的佐證。已知有10000000個素數，其數字間隔甚至達到1000000000，對於其中每一個值(34)都是正確的。1912年，利特爾伍德證明了這個假設是錯誤的，存在無窮多個的值使得(34)中的不等號必須反過來。特別地，存在一個數使得對於小於的某個，(34)是錯的。利特爾伍德證明了的存在性，但他的方法並不能給出一個值，直到最近，斯凱維斯(Skewes)①才發現了一個可采用的值，即,我認為這是數學中適用於某個明確目的的最大的數。宇宙中質子的個數大約是。國際象棋的可能局數更大一些，也許是·。（無論如何它一定是一個二重階指數)。如果宇宙是棋盤，質子是棋子，任意位置的兩個質子的交換是一著，那麽可能的棋局數就類似於斯凱維斯數。無論通過改良斯凱維斯的討論可以將該數減小多少，看來我們是不可能知道關於利特爾伍德定理正確性的例子了。

這個例子中，真理不僅擊敗了所有事實證據和常識，而且甚至擊敗了屬於高斯的那樣有力而深刻的數學想象力，當然它是從數論最困難的部分中選出來的。素數理論中沒有真正容易的部分，不過也可以談談某種簡單的討論，雖然這種簡單討論不能證明什麽，卻也確實不會誤導我們。

①S。斯凱維斯，倫敦數學會雜誌，1933，卷8，277頁。——原註

例如，簡單的討論可能會引導好的數學家得到素數定理的結論
（35）①

或者，可得到等價結論

（36）

其中是第個素數。

首先，我們可以從歐拉恒等式開始

（37）

這個式子對s＞1是正確的，但對於s=1，級數和乘積變成無窮。討論自然可以推出，當s=1時，級數和乘積應以相同方式發散，同理

（38）

後一項級數在s=1時為有限值，自然地推出

像那樣發散，

或者更精確地，對於大數

（39）

①意思是比趨於1。

又因為

所以公式（39）蘊涵了近似等於。

有一個似繁實簡的論證。

容易看出，能除盡的素數的最高次冪是

其中表示的整數部分。因此

(40)

由斯特靈(Stirling)定理知，(40)的左端實際上是。至於右端，人們可以認為，素數的平方，立方，．．…·相對而言比較罕見，包含它們的項應當是不重要的，如果我們用代替 ，引發誤差可以忽略不計。因而我們推出

這恰恰再次符合了約等於的結論。
這就是切比雪夫(Tchebychef)詳細推理過程的大略。他是第一個在素數理論中取得實質性進展的人，我想象拉馬努金也是以同樣的方式開始的，盡管筆記本上沒有什麽能表明這一點。唯一可以肯定的是，拉馬努金獨立發現了素數定理的形式，這是一項重大成就，在他之前發現這個定理的形式的人，如勒讓德、高斯和狄利克雷(Dirichlet)，都是非常偉大的數學家。拉馬努金還發現了其他一些更為深刻的公式，也許最好的例子是(15)，用簡單函數(16)代替積分會更精確些，但正如它所表示的和1909年蘭道證明的那樣，拉馬努金的公式是正確的，而沒有什麽明顯的事實能引導他推出這一真理。
剩下要說的事實是，拉馬努金在這一領域的工作幾乎沒有什麽持久的價值。解析數論是數學中一個特殊的分支，其中證明實際上就是一切，而缺乏絕對的嚴格則一文不值。發現素數定理的數學家的成就與那些發現其證明的人相比是不足掛齒的。不僅在這一理論中(如利特爾伍德定理表明的)沒有證明就不能確信任何事實，雖然這事實本身可能很重要。素數定理以及其他這一學科中重要定理的整個歷史表明，除非掌握了證明，否則不可能真正理解這一理論的結構和意義，也沒有什麽可靠的直覺能引導你進行下一步的研究。做出聰明的猜想是比較容易的，有些定理，像“哥德巴赫定理”①至今沒有任何人能證明它，但連傻瓜也可能猜想到它。
①任何大於2的偶數都是兩個素數之和。——原註
素數理論依賴於黎曼函數的性質，尤其是其零點的分布，是復變量s的解析函數。而拉馬努金對解析函數理論一無所知，我曾寫道：
對復變函數理論的無知毀了拉馬努金的素數理論。這是（這麽說吧）如果黎曼函數沒有復零點，他這個理論就是正確的。他的證明方法依賴於大規模使用發散級數，……可以猜到，他的證明肯定是站不住腳的。而更離譜的是，許多事實結果也弄錯了。盡管用了不正確的方式，他的確得到了經典公式的主項；不過其中沒有一個能給出他指望的精確近似度。

可以說這是拉馬努金的一場慘痛失敗。……

如果我當初就此打往，那我也不必再多說什麽。但我再一次放任自己感情用事。我繼續議論“他的失敗比他的一切成功更美麗”，那自然是荒謬的言過其實。試圖把失敗偽裝成別的什麽是無濟於事的。也許我們可以這樣說，他的失敗，從另一個角度看，應當增添而不致減少我們對他天賦的敬慕，因為它給了我們額外的和驚人的佐證，證明他的想象力和全能性。
然而，數學家的聲譽不能建立在失敗的嘗試和重新發現上，而根本上、必須公正的紮根在確切的和創造性的成就之上。我必須立足於此，為拉馬努金辯護，希望在此後的演講中能做到這一點。
註釋：這是1936年發表在哈佛文學和科學三百年紀念大會上的兩篇演講中的前一篇，並且形成了哈代的著作《拉馬努金：關於他生平和工作的十二篇演講》(劍橋，1940)的演講l。第二篇演講逐漸擴充成其余的十一篇演講。無疑哈佛演講稿出自哈代5月5日和同年5月20日在英國劍橋以“S，拉馬努金的生平和科學工作”為題做的兩次公開演講，次年(1937，春季學期)他以“聯系拉馬努金工作的數學問題”為題開了24節課程。

【資料】印度數學家拉馬努金