證明
\begin{align*}\int_0^{ + \infty } {\frac{{\sin nx}}{{x + \frac{1}{{x + \frac{2}{{x + \frac{3}{{x + \cdots }}}}}}}}dx} &= \frac{{\sqrt {\frac{\pi }{2}} }}{{n + \frac{1}{{n + \frac{2}{{n + \frac{3}{{n + \cdots }}}}}}}}\\
\int_0^{ + \infty } {\frac{{\sin \frac{{n\pi x}}{2}}}{{x + \frac{{{1^2}}}{{x + \frac{{{2^2}}}{{x + \frac{{{3^2}}}{{x + \cdots }}}}}}}}dx} &= \frac{1}{{n + \frac{{{1^2}}}{{n + \frac{{{2^2}}}{{n + \frac{{{3^2}}}{{n + \cdots }}}}}}}}.\end{align*}

證.對於第一個,利用
\[\frac{1}{{x + \frac{1}{{x + \frac{2}{{x + \ldots }}}}}} = {e^{{x^2}/2}}\int_x^\infty {{e^{ - {t^2}/2}}dt} .\]
接下來只需證明
\[\int_0^{ + \infty } {\sin nx \cdot {e^{{x^2}/2}}dx} \int_x^\infty {{e^{ - {t^2}/2}}dt} = \sqrt {\frac{\pi }{2}} \cdot {e^{{n^2}/2}}\int_n^\infty {{e^{ - {t^2}/2}}dt} .\]

第二個得利用
\[\frac{1}{{x + \frac{{{1^2}}}{{x + \frac{{{2^2}}}{{x + \frac{{{3^2}}}{{x + \cdots }}}}}}}} = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}}}{{x + 2n - 1}}} = 2\int_0^1 {\frac{{{t^x}}}{{1 + {t^2}}}dt} .\]
這是Ramanujan‘s Notebooks II (Brendt)連分數章節29目裏的一個推論(見P149).

利用兩次分部積分可知
$$
\int{e^{-ax}\cos \left( bx \right) dx}=\frac{e^{-ax}\left[ b\sin \left( bx \right) -a\cos \left( bx \right) \right]}{a^2+b^2}+C,
$$
因此
$$
\int_0^{\infty}{e^{-ax}\cos \left( bx \right) dx}=\frac{a}{a^2+b^2},\quad \int_0^{\infty}{e^{-ax}\sin \left( bx \right) dx}=\frac{b}{a^2+b^2},
$$
其中$a>0$.取$a=-\ln t,b=n\pi/2$,我們有
$$
\int_0^{\infty}{t^x\sin \frac{n\pi x}{2}dx}=\frac{n\pi /2}{\ln ^2t+\left( \frac{n\pi}{2} \right) ^2}=\frac{2n\pi}{4\ln ^2t+n^2\pi ^2},\quad 0<t<1
$$

接下來只需證明
$$
\int_0^1{\frac{2n\pi}{\left( 1+t^2 \right) \left( n^2\pi ^2+4\ln ^2t \right)}dt}=\int_0^1{\frac{t^n}{1+t^2}dt}.
$$

蘇格拉斯寧死不走，歐陽修《晏元獻公挽辭》認為晏殊“富貴優遊五十年,始終明哲保身全。”

拉馬努金問題解答