題目描述

　　在平面上找 \(n\) 個點，要求這 \(n\) 個點離原點的距離分別是 \(r_1,r_2,\ldots,r_n\)，最大化這 \(n\) 個點構成的土包的面積。這些點的順序任意。

　　\(n\leq 8\)

題解

　　先枚舉凸包上的點和順序。

　　不妨設 \(r_{n+1}=r_1\)

　　面積為：\(\frac{1}{2}(r_1r_2\sin \theta_1+r_2r_3\sin \theta_2 + \cdots + r_nr_{n+1}\theta_n)\)

　　那麽問題就是最大化 \(r_1r_2\sin \theta_1+r_2r_3\sin \theta_2 + \cdots + r_nr_{n+1}\theta_n\)

　　應用拉格朗日乘數法，有：
\[ \begin{cases} r_1r_2\cos\theta_1=r_2r_3\cos\theta_2=\cdots=r_nr_{n+1}\cos\theta_n&=\lambda\\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n&=2\pi \end{cases} \]
　　觀察到 \(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n\) 關於 \(\lambda\)單調，所以可以二分 \(\lambda\) 算出 \(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef
 
 pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
    int s=0,c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    do
    {
        s=s*10+c-'0';
    }
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    return s;
}
void put(int x)
{
    if(!x)
    {
        putchar('0');
        return;
    }
    static int c[20];
    int t=0;
    while(x)
    {
        c[++t]=x%10;
        x/=10;
    }
    while(t)
        putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
    if(b<a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
    if(b>a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int n;
const double eps=1e-9;
const double pi=acos(-1);
int a[10];
double ans=0;
auto gao=[](double x){return x<0?x+2*pi:x;};
auto calc=[](double x){double s=0;for(int i=1;i<=n;i++)s+=gao(acos(x/a[i]/a[i+1]));return s;};
void getans()
{
    sort(a+1,a+n+1);
    a[n+1]=a[1];
    do
    {
        double s=0;
        double l=0,r=1e6;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            r=min(r,(double)a[i]*a[i+1]);
        l=-r;
        if(calc(l)<2*pi||calc(r)>2*pi)
            continue;
        while(r-l>1e-5)
        {
            double mid=(l+r)/2;
            if(calc(mid)<2*pi)
                r=mid;
            else
                l=mid;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            s+=a[i]*a[i+1]*sin(acos(l/a[i]/a[i+1]));
        ans=max(ans,s);
    }
    while(next_permutation(a+2,a+n+1));
}
int r[10];
int main()
{
    open("b");
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&r[i]);
    if(n<=2)
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<1<<n;i++)
    {
        ::n=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if((i>>(j-1))&1)
                a[++::n]=r[j];
        if(::n>=3)
            getans();
    }
    printf("%.10lf\n",ans/2);
    return 0;
}

【XSY2921】yja 拉格朗日乘法