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【拉格朗日插值法求自然數冪和】

阿新 • • 發佈：2019-01-06

求自然數冪和：

1<=n<=10^5，1<=k<=10^5 用快速冪；

1<=n<=10^9，1<=k<=10^6 用拉格朗日插值法；

1.什麼是拉格朗日插值法

拉格朗日插值法，就是對於給定的幾個點找到關於這幾個點的函式；

以下是拉格朗日插值法的具體使用：

對某個多項式函式，已知有給定的k + 1個取值點：

{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})

其中{\displaystyle x_{j}}x_{j}對應著自變數的位置，而{\displaystyle y_{j}}y_{j}對應著函式在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的x

j都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

{\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}L(x):=\sum _{{j=0}}^{{k}}y_{j}\ell _{j}(x)

其中每個{\displaystyle \ell _{j}(x)}\ell _{j}(x)為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函式），其表示式為：

{\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}
\ell _{j}(x):=\prod _{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{{j-1}})}{(x_{j}-x_{{j-1}})}}{\frac {(x-x_{{j+1}})}{(x_{j}-x_{{j+1}})}}\cdots {\frac {(x-x_{{k}})}{(x_{j}-x_{{k}})}}.[3]

拉格朗日基本多項式{\displaystyle \ell _{j}(x)}\ell _{j}(x)的特點是在{\displaystyle x_{j}}x_{j}上取值為1，在其它的點{\displaystyle x_{i},\,i\neq j}x_{i},\,i\neq j上取值為0。

舉例：

假設有某個二次多項式函式{\displaystyle f}f，已知它在三個點上的取值為：

  • {\displaystyle f(4)=10}f(4)=10
  • {\displaystyle f(5)=5.25}f(5)=5.25
  • {\displaystyle f(6)=1}f(6)=1

要求{\displaystyle f(18)}f(18)的值。

首先寫出每個拉格朗日基本多項式：

{\displaystyle \ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}}
\ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}
{\displaystyle \ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}}\ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}
{\displaystyle \ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}}\ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}

然後應用拉格朗日插值法，就可以得到{\displaystyle p}p的表示式（{\displaystyle p}p為函式{\displaystyle f}f的插值函式）：

{\displaystyle p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)}p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)
{\displaystyle .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}
{\displaystyle .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)

此時代入數值{\displaystyle \ 18}\ 18就可以求出所需之值：{\displaystyle \ f(18)=p(18)=-11}\ f(18)=p(18)=-11。

注意：(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})共k+1個取值點，根據拉格朗日插值法可以得到關於這k+1個點的k次多項式；


2.拉格朗日插值法怎麼求自然數冪和

 求自然數冪和：

當k=1時，自然數冪和的公式為n(n+1)/2，為2次多項式，也就是k+1次多項式；

若k=k呢，則自然數冪和的公式便為k+1次多項式，那麼需要得到k+2個點來得到這個k+1次多項式哦；

首先如果得知了n=0,1,…,k+1處的答案f(n)，那麼給定的n處的答案可以寫成：

f(n)=∑i=0k+1f(i)(n−0)(n−1)⋯[n−(i−1)][(n−(i+1)]⋯[n−(k+1)](i−0)(i−1)⋯[i−(i−1)][(i−(i+1)]⋯[i−(k+1)]=∑i=0k+1f(i)∏i−1j=0(n−j)∏k+1j=i+1(n−j)i!(−1)k−i+1(k+1−i)!=∑i=0k+1(−1)k−i+1f(i)∏i−1j=0(n−j)∏k+1j=i+1(n−j)i!(k

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