拉格朗日插值法(圖文詳解)
對某個多項式函式,已知有給定的k + 1個取值點:
其中對應著自變數的位置,而對應著函式在這個位置的取值。
假設任意兩個不同的xj都互不相同,那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為:
其中每個為拉格朗日基本多項式(或稱插值基函式),其表示式為:
拉格朗日基本多項式的特點是在上取值為1,在其它的點上取值為0。
範例
假設有某個二次多項式函式,已知它在三個點上的取值為:
要求的值。
首先寫出每個拉格朗日基本多項式:
然後應用拉格朗日插值法,就可以得到的表示式(為函式的插值函式):
此時代入數值就可以求出所需之值:。
證明
存在性
對於給定的k+1個點:,拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點取值為1,而在其他點取值都是0的多項式。這樣,多項式在點取值為,而在其他點取值都是0。而多項式就可以滿足
在其它點取值為0的多項式容易找到,例如:
它在點取值為:。由於已經假定兩兩互不相同,因此上面的取值不等於0。於是,將多項式除以這個取值,就得到一個滿足“在取值為1,而在其他點取值都是0的多項式”:
這就是拉格朗日基本多項式。
唯一性
次數不超過k的拉格朗日多項式至多隻有一個,因為對任意兩個次數不超過k的拉格朗日多項式:和,它們的差在所有k+1個點上取值都是0,因此必然是多項式的倍數。因此,如果這個差不等於0,次數就一定不小於k
幾何性質
拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式(由某一組確定)可以看做是由次數不超過n的多項式所組成的線性空間:的一組基底。首先,如果存在一組係數:使得,
- ,
那麼,一方面多項式P是滿足的拉格朗日插值多項式,另一方面P是零多項式,所以取值永遠是0。所以
- 。
這證明了是線性無關的。同時它一共包含n+1個多項式,恰好等於的維數。所以構成了的一組基底。
拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的(都是n次多項式)。
優點與缺點
拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊,在理論分析中十分方便,然而在計算中,當插值點增加或減少一個時,所對應的基本多項式就需要全部重新計算,於是整個公式都會變化,非常繁瑣
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進。在拉格朗日插值法中,運用多項式
可以將拉格朗日基本多項式重新寫為:
上面的表示式可以簡化為:
於是拉格朗日插值多項式變為:
即所謂的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改進拉格朗日插值公式。它的優點是當插值點的個數增加一個時,將每個都除以,就可以得到新的重心權,計算複雜度為,比重新計算每個基本多項式所需要的複雜度降了一個量級。
將以上的拉格朗日插值多項式用來對函式插值,可以得到:
因為是一個多項式。
因此,將除以後可得到:
這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式。它繼承了(1)式容易計算的特點,並且在代入x值計算的時候不必計算多項式[7]。它的另一個優點是,結合切比雪夫節點進行插值的話,可以很好地模擬給定的函式,使得插值點個數趨於無窮時,最大偏差趨於零[7]。同時,重心拉格朗日插值結合切比雪夫節點進行插值可以達到極佳的數值穩定性。第一型拉格朗日插值是向後穩定的,而第二型拉格朗日插值是向前穩定的,並且勒貝格常數很小[9]。
參考來源
- ^ E. Waring. Problems Concerning Interpolations. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1779, 69: 59–67.
- ^ (英文)E. Meijering. A chronology of interpolation: From ancient astronomy to modern signal and image processing,. Proceedings of the IEEE: 323.
- ^ (英文)Julius Orion Smith III. Lagrange_Interpolation. Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University.
- ^ 馮有前,《數值分析》,第63頁
- ^ 李慶揚,《數值分析》第4版,第31頁
- ^ 馮有前,《數值分析》,第64頁
- ^ 王兆清,李淑萍,唐炳濤. 一維重心型插值:公式、演算法和應用. 山東建築大學學報. 2007, 22 (5): 447–453.
- (中文)李慶揚,王能超,易大義. 《數值分析》第4版. 清華大學出版社. 2001. ISBN 7-302-04561-5.
- (中文)馮有前. 《數值分析》. 清華大學出版社. 2001. ISBN 7-810-82495-3.