拉格朗日插值法複習小計

阿新 • • 發佈：2018-12-24

拉格朗日插值法

概述

因為n次方的函式影象可以有n+1個點確定(比如說y=kx+b就只用兩個點確定，y=ax2+bx+c，只用三個點就可以確定)，所以個n次方的方程給你n+1個x或者y就能確定這個方程。拉格朗日插值法就可以把這n+1個對應的值插進一個方程，然後給一個x，可以求出y。比如y=3x+2，給你(x=1,y=5;x=4,y=14)那麼隨意詢問一個x，用拉格朗日插值法就可以求出對應的y。

拉格朗日插值法基本多項式

li(x)=yi∏nj=1,j≠ix−xjxi−xj（x是代進去的數）

運用

首先給你n個x，和n個對應的y。(x[i],y[i])
有一個公式y=∑ni=1li

(x)=∑ni=1yi∏nj=1,j≠ix−xjxi−xj
比如說x1=1,y1=5;x2=4,y2=14
那麼我們詢問x=15時，y=？
y=y1∗15−x2x1−x2+y2∗15−x1x2−x1
算出來後，y=47

證明

我們可以發現拉格朗日插值法基本多項式li(x)在x=x[i]時，li(x)=yi∗1=yi,但是在li(x,x≠i)是，如果x=x[j] (j≠i)時，li(x)=yi∗0=0。最後求和一下，如果帶進去的x是x[i] (1,2,3,4..n)（給出的那些點）中的某個數，那麼∑ni=1li(x)=yi。因為一共給了n個點得座標，n個對應的值可以確定一個n-1次的多項式函式，而∑

ni=1li(x)都會得到對應的值，所以就可以確定這個函式，那麼隨意帶進去一個x都會返回對應的y。
如果要求多項式的係數，可以把∑ni=1li(x)=yi展開，不過有些麻煩。

拉格朗日插值法Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int x,i,j,k,l,t,n,m,a[100000 
],b[10000];//a是x，b是y
double temp,ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n){
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
    }
    scanf("%d",&x);
    fo(i,1,n){
        temp=b[i];
        fo(j,1,n){
            if(i==j) continue;
            temp*=(x-a[j]);
            temp/=(a[i]-a[j]);
        }
        ans+=temp;
    }
    printf("%.5lf",ans);
}

注意

拉格朗日插值法如果要在(mod p)意義下進行的話，那麼p只能是質數。
如果要mod非質數的話，那麼就要用牛頓插值法。

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