Description

小B最近正在玩一個尋寶遊戲，這個遊戲的地圖中有 \(N\) 個村莊和 \(N-1\) 條道路，並且任何兩個村莊之間有且僅有一條路徑可達。遊戲開始時，玩家可以任意選擇一個村莊，瞬間轉移到這個村莊，然後可以任意在地圖的道路上行走，若走到某個村莊中有寶物，則視為找到該村莊內的寶物，直到找到所有寶物並返回到最初轉移到的村莊為止。小B 希望評測一下這個遊戲的難度，因此他需要知道玩家找到所有寶物需要行走的最短路程。但是這個遊戲中寶物經常變化，有時某個村莊中會突然出現寶物，有時某個村莊內的寶物會突然消失，因此小B需要不斷地更新數據，但是小B太懶了，不願意自己計算，因此他向你求助。為了簡化問題，我們認為最開始時所有村莊內均沒有寶物

Input

第一行，兩個整數 \(N\) 、\(M\) ，其中 \(M\) 為寶物的變動次數。

接下來的 \(N-1\) 行，每行三個整數 \(x\)、\(y\)、\(z\)，表示村莊 \(x\)、\(y\) 之間有一條長度為 \(z\) 的道路。
接下來的 \(M\) 行，每行一個整數 \(t\)，表示一個寶物變動的操作。若該操作前村莊 \(t\) 內沒有寶物，則操作後村莊內有寶物；若該操作前村莊 \(t\) 內有寶物，則操作後村莊內沒有寶物。

Output

\(M\) 行，每行一個整數，其中第 \(i\) 行的整數表示第 \(i\) 次操作之後玩家找到所有寶物需要行走的最短路程。若只有一個村莊內有寶物，或者所有村莊內都沒有寶物，則輸出0。

Sample Input

4 5

1 2 30

2 3 50

2 4 60

2

3

4

2

1

Sample Output

0

100

220

220

280

HINT

\(1 \leq N \leq100000\)
\(1 \leq M \leq 100000\)
對於全部的數據，\(1 \leq z \leq10^9\)

想法

由於題目中要求找到所有寶物後要返回起點，故走過的每條路都走了2遍。

如果我們把所有有寶物的村莊（不妨稱它們為關鍵節點）及它們的 \(lca\) 拎出來，單獨建一棵樹，我們要走的所有邊便是這棵樹上的所有邊。
比如下圖（藍色的為關鍵節點）：

我們叫這棵樹”虛樹“。

讓我們先回顧一下虛樹的建樹過程：
現在原樹上 \(dfs\)

這其中關鍵一步是“按 \(dfs序\) 排序”
而在這道題中，虛樹的邊數的二倍 便是按 \(dfs序\) 排序後的相鄰的關鍵點之間的距離和（包括最後一個關鍵點與第一個關鍵點之間的距離）
（畫個圖就可理解了。。。每條邊相當於在“進入”和“離開”時各經過一次）

那麽我們只要對虛樹中排序後所有相鄰關鍵點求一遍距離，再加起來就行了。
但題目中還有修改，怎麽辦？
註意到每次修改只改一個點——如果這個點在虛樹中，刪掉它影響的只是虛樹中與它相鄰的兩個關鍵點；如果不在虛樹中，影響的也只是它插到虛樹中後與它相鄰的兩個點。
於是我們可以用一個 \(set\) 來維護虛樹中點的 \(dfs序\) ，每次修改只需在 \(set\) 中 \(O(logn)\) 尋找這個點的前驅後繼。
如果要把這個點加到虛樹中，\(ans\) 減去它相鄰兩個點之間的距離，加上它分別到相鄰兩個點的距離
如果要把這個點從虛樹中刪除，\(ans\) 減去它分別到相鄰兩個點的距離，加上它相鄰兩個點之間的距離

代碼

一直用 \(set\) 不是很熟練
這次 \(get\) 了新技能：

y=*--st.lower_bound(x); //找小於x的最大數
z=*st.upper_bound(x); //找大於x的最小數

還有一個小技巧是在 \(set\) 中先加入 \(inf 與 -inf\) ,避免出現奇怪問題

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>

#define INF 1000000

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100005;

struct node{
    int v,len;
    node *next;
}pool[N*2],*h[N];
int cnt;
void addedge(int u,int v,int l){
    node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
    p->v=v;p->next=h[u];h[u]=p;p->len=l;
    q->v=u;q->next=h[v];h[v]=q;q->len=l;
}

int n,m,vis[N];
int f[N][20],dep[N],dfn[N],re[N],tot;
ll sum[N];
void dfs(int u){
    int v;
    dfn[u]=++tot; re[tot]=u;
    for(node *p=h[u];p;p=p->next)
        if(!dep[v=p->v]){
            dep[v]=dep[u]+1;
            f[v][0]=u; sum[v]=sum[u]+p->len;
            for(int j=1;j<20;j++)
                f[v][j]=f[f[v][j-1]][j-1];
            dfs(v);
        }
}
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
inline ll Sum(int x,int y) { return sum[x]+sum[y]-sum[lca(x,y)]*2; }

set<int> st;

int main()
{
    int x,y,z;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        addedge(x,y,z);
    }
    
    dep[1]=1;
    dfs(1);
    
    int s,p,q;
    ll t=0;
    st.insert(-INF); st.insert(INF);
    while(m--){
        scanf("%d",&x);
        if(vis[x]==0){
            vis[x]=1;
            s=st.size();
            if(s==2) { st.insert(dfn[x]); printf("0\n"); continue; }
            p=*--st.lower_bound(dfn[x]); q=*st.upper_bound(dfn[x]);
            if(p==-INF) p=*--(--st.end());
            if(q==INF) q=*++st.begin();
            p=re[p]; q=re[q];
            t=t-Sum(p,q)+Sum(p,x)+Sum(x,q);
            st.insert(dfn[x]);
        }
        else{
            vis[x]=0;
            s=st.size();
            if(s==2) { st.erase(dfn[x]); printf("0\n"); continue; }
            p=*--st.lower_bound(dfn[x]); q=*st.upper_bound(dfn[x]);
            if(p==-INF) p=*--(--st.end());
            if(q==INF) q=*++st.begin();
            p=re[p]; q=re[q];
            t=t+Sum(p,q)-Sum(p,x)-Sum(x,q);
            st.erase(dfn[x]);
        }
        printf("%lld\n",t);
    }
    
    return 0;
}

[bzoj3991] [洛谷P3320] [SDOI2015] 尋寶遊戲