集訓DAYn——組合數學（1）
組合，吼吼吼
又到了我們信息老師講數學課了，吼吼吼
然後數學老師中途探望了一下，哇塞塞，然後他看到黑板上的題，微妙的笑了.
排列：從n個數中有序的選出m個數的方案數是多少？
第一個數有n種取法，第二個數有n-1種取法......第m個數有n-m+1種取法。
n*(n-1)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!記為A（n,m）.
組合：從n個數中無序的選出m個數的方案數是多少？
先有序的取m個數，那麽無序的m個數會被取到m!次。
A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]記為C（n,m）
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1).
組合數的性質：1.C(m,n)=C(n-m,n)
2.C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)
3.C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n,n)=2^n
4.C(n,n)+C(n,n+1)+C(n,n+2)+...+C(n,n+r)=C(n+1,n+r+1)
5.C(0,n)+C(2,n)+C(4,n)+...=C(1,n)+C(3,n)+C(5,n)+...=2^(n-1)
something else
1.n個人圍著一張圓桌坐在一起，共有（n-1）! 種坐法。
2.從n個排成一排的數中取m個數，且數字之間互不相鄰，共有C(m,n-m+1)種取法。
二次項定理：
(a+b)^n=∑(0<=k<=n)C(k,n)*(a^k)*(b^(n-k))
友情證明：可愛的數學歸納法
當n=1時，(a+b)^1=C(0,n)*(a^0)*(b^1)+C(1,n)*(a^1)*(b^0)=a+b成立
假設當n=m時命題成立，當n=m+1時：
(a+b)^(m+1)=(a+b)(a+b)^m
=(a+b)∑(0<=k<=n)C(k,m)*(a^k)*(b^(m-k))
=...=∑(0<=k<=m+1)C(k,m+1)*(a^k)*(b^(m+1-k))
那麽，二次項定理有什麽用呢？
我可以負責任的告訴你，這個數學裏是經常考的，2017年的浙江高中數學省賽卷第一題就是這個東西,它可以被用於證明可愛的費馬小定理...我知道你心裏已經開始喊停了...
但數學和信息是分不開的，數學班的同學告訴我們數學老師在數學班裏講樹還有剪枝，數學奧林匹克命題人講座（簡稱命題人）的《組合問題》的編寫者之一就是畢業於計算機系的...
所以還是對數學好點吧。
講正事，想知道浙江省省賽卷第一題是怎麽出的嗎？（不想知道，我還是會講）
二次項定理的直接運用，不要你計算，我們把他變成信息題，如下：
給定一個多項式（ax+by）^k,求出多項式展開後的x^n*y^m項的系數，對10007取模。
0<=n,m<=k<=1000,n+m=k,0<=a,b<=1000000。
根據二次項定理，有（ax+by）^k=∑(0<=i<=k)C(i,k)*(a^i)*(b^(k-i))*(x^i)*(y^(k-i))
所以(x^n)*(y^m)的系數即為C(n,k)*(a^n)*(b^m),直接計算就好。
數學題是不是很簡單，只不過算的很煩，然而信息就不存在這種問題了，所以我愛信息，呦吼吼！
隔板法
隔板法又稱插空法，就是在n個元素間插入（m-1）個板，即把n個元素分成m組的方法。
eg:
例1將20個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，有多少種不同的方法？ 分析：本題中的小球大小形狀完全相同，故這些小球沒有區別，問題等價於將小球分成三組，允許有若幹組無元素，用隔板法. 解析：將20個小球分成三組需要兩塊隔板，因為允許有盒子為空，不符合隔板法的原理，那就人為的再加上3個小球，保證每個盒子都至少分到一個小球，那就符合隔板法的要求了（分完後，再在每組中各去掉一個小球，即滿足了題設的要求）。然後就變成待分小球總數為23個，球中間有22個空檔，需要在這22個空檔裏加入2個隔板來分隔為3份，共有C（22，2）=231種不同的方法. 點評：對n件相同物品（或名額）分給m個人（或位置），允許若幹個人（或位置）為空的問題,可以看成將這n件物品分成m組，允許若幹組為空的問題.將n件物品分成m組，需要m-1塊隔板，將這n件物品和m-1塊隔板排成一排，占n+m-1位置，從這n+m-1個位置中選m-1個位置放隔板，因隔板無差別，故隔板之間無序，是組合問題，故隔板有Cn+m-1 m-1種不同的方法，再將物品放入其余位置，因物品相同無差別，故物品之間無順序，是組合問題，只有1種放法，根據分步計數原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1種排法. 那麽就引出了一個大大的栗子-o.o-：球和袋子的問題n個球和m個袋子，已經有大佬總結得可好了，棒棒_qwq_(顏文字中毒期)
這裏呢我們再小小的分析一下球和袋子的問題
1.將n個不同的球放到m個相同的袋子裏有多少種方案（沒有空袋子哦）？
用f[i][j]表示將i個不同的球放到j個相同的袋子，並保證每個袋子裏都有球的方案數。
我們考慮第i個球是不是單獨放的，f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*j
答案是f[n][0]+f[n][1]+...f[n][m].時間復雜度是O（nm）
以上為ppt原話，反正我是沒怎麽懂那個式子是怎麽出來的，各位大佬可能懂了吧，我太菜了啊~~~
那麽，不懂的和我一樣的蒟蒻們看看一看一下思路吧：(來自一位蒟蒻的分享)
f[i][j]表示將i個不同的球放到j個相同的袋子中，
假設前面的i-1個球都放好了，放在了j個袋子裏，其方案數為f[i-1][j]，此時還有一個球要和哪一坨球同居呢？有j個袋子，有j種選擇，所以為f[i-1][j]*j（乘法原理，不要告訴我你不會，這真的是小學數學） 。
假設前i-1個球放在了j-1個袋子裏，那麽第i個球一定在剩余的空袋子裏（保證每個袋子裏都有球）已有的方案數為f[i-1][j-1].
加一加，就得到了大佬ppt上的式子：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*j
2.將n個相同的球放在m個相同的袋子裏有多少種方案？
由於袋子是相同的，我們通過保證球數是單調不減的來防止重復統計。用f[i][j]表示將i個相同的球放到j個相同的袋子裏的方案數。
考慮第一個袋子是否放球，如果放的話，由於球數單調不減，我們必須在每個袋子裏都放一個球。
如果不放的話，那我們直接考慮後面的袋子。
f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1].時間復雜度O(nm)
集訓DAYn——組合數學（1）