題意：個n個方塊塗色， 只能塗紅黃藍綠四種顏色，求最終紅色和綠色都為偶數的方案數。

該題我們可以想到一個遞推式 。 設a[i]表示到第i個方塊為止紅綠是偶數的方案數， b[i]為紅綠恰有一個是偶數的方案數， c[i]表示紅綠都是奇數的方案數。

那麽有如下遞推可能：

遞推a[i+1]：1.到第i個為止都是偶數，且第i+1個染成藍或黃；2.到第i個為止紅綠恰有一個是奇數，並且第i+1個方塊染成了奇數對應的顏色。

遞推b[i+1]：1.到第i個為止都是偶數，且第i+1個染成紅或綠；2.到第i個為止紅綠恰有一個是奇數，並且第i+1個方塊染成了藍或黃；3.到第i個方塊為止紅火綠都是奇數，並且第i+1個染成紅火綠。

遞推c[i+1]：1.到第i個為止紅綠恰有一個是奇數， 並且第i+1個方塊染成偶數對應的顏色；2.到第i個為止紅綠都是奇數，並且第i+1個方塊染成藍或黃。

即a[i+1] = 2*a[i] + b[i];

b[i+1] = 2*a[i] + 2*b[i] + 2*c[i];

c[i+1] = b[i] + 2*c[i];

因為DP的過程中，每一步都是在重復上一個過程， 所以可以用矩陣相乘來優化算法。

將上述遞推式寫成矩陣相乘的形式：

{ a[i] } {2 1 0}^i{a[0] }

{ b[i] } = {2 2 2} {b[0] }

{ c[i] } {0 1 2} {c[0] }

然後用矩陣快速冪就可以了。

AC代碼

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod 10007
struct Mat
{
    long long  mat[3][3];
};

Mat operator * (Mat a,Mat b)
{
    int n=3;
    Mat c;
    c.mat[2][2]=c.mat[2][0]=c.mat[2][1]=c.mat[0][0]=c.mat[0][1]=c.mat[0][2]=c.mat[1][0]=c.mat[1][1]=c.mat[1][2]=0;
    int i,j,k;
    
 
for(k =0 ; k < n ; k++)
    {
        for(i = 0 ; i < n ;i++)
        {
            if(a.mat[i][k]==0) continue;//優化
            for(j = 0 ;j < n ;j++)
            {
                if(b.mat[k][j]==0) continue;//優化
                c.mat[i][j] = (c.mat[i][j]+(a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Mat operator ^(Mat a,int k)
{
    int n=3;
    Mat c;
    int i,j;
    for(i =0 ; i < n ;i++)
        for(j = 0; j < n ;j++)
        c.mat[i][j] = (i==j);
    for(; k ;k >>= 1)
    {
        if(k&1) c = c*a;
        a = a*a;
    }
    return c;
}
int main( )
{
    long long n;
    int t;
   scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        Mat A;
        A.mat[0][0]=2;A.mat[0][1]=1;A.mat[0][2]=0;
        A.mat[1][0]=2;A.mat[1][1]=2;A.mat[1][2]=2;
        A.mat[2][0]=0;A.mat[2][1]=1;A.mat[2][2]=2;
        Mat ans=A^n;
        printf("%lld\n",ans.mat[0][0]);
    }
    return 0;
}

POJ 3734 Blocks（矩陣快速冪+矩陣遞推式）