數據結構與算法(3)——樹（二叉、二叉搜索樹）
阿新 • • 發佈：2018-07-11
序列化 存在 you 樹遍歷 大於 另一個 分類 出現 遍歷序列
前言：題圖無關，現在開始來學習學習樹相關的知識
前序文章：
- 數據結構與算法(1)——數組與鏈表（https://www.jianshu.com/p/7b93b3570875）
- 數據結構與算法(2)——棧和隊列(https://www.jianshu.com/p/5087c751cb42)
樹
什麽是樹
樹是一種類似於鏈表的數據結構，不過鏈表的結點是以線性方式簡單地指向其後繼結點，而樹的一個結點可以指向許多個結點；數是一種典型的非線性結構；樹結構是以表達具有層次特性的圖結構的一種方法；
相關術語
- 根節點：根節點是一個沒有雙親結點的結點，一棵樹中最多有一個根節點（如上圖的結點A就是根節點）；
- 邊：邊表示從雙親結點到孩子結點的鏈接（如上圖中所有的鏈接）；
- 葉子結點：沒有孩子結點的結點叫作葉子結點（如E、J、K、H和I）；
- 兄弟結點：擁有相同雙親結點的所有孩子結點叫作兄弟結點（B、C、D是A的兄弟結點，E、F是B的兄弟結點）；
- 祖先結點：如果存在一條從根節點到結點q的路徑，其結點p出現在這條路徑上，那麽就可以吧結點p叫作結點q的祖先結點，結點q也叫做p的子孫結點（例如，A、C和G是K的祖先結點）；
- 結點的大小：結點的大小是指子孫的個數，包括其自身。（子樹C的大小為3）；
- 樹的層：位於相同深度的所有結點的集合叫作樹的層（B、C和D具有相同的層，上圖的結構有0/1/2/3四個層）；
- 結點的深度：是指從根節點到該節點的路徑長度（G點的深度為2，A—C—G）；
- 結點的高度：是指從該節點到最深節點的路徑長度，樹的高度是指從根節點到書中最深結點的路徑長度，只含有根節點的樹的高度為0。（B的高度為2，B—F—J）；
- 樹的高度：是樹中所有結點高度的最大值，樹的深度是樹中所有結點深度的最大值，對於同一棵樹，其深度和高度是相同的，但是對於各個結點，其深度和高度不一定相同；
二叉樹
如果一棵樹中的每個結點有0，1或者2個孩子結點，那麽這棵樹就稱為二叉樹；空樹也是一顆有效的二叉樹，一顆二叉樹可以看做是由根節點和兩棵不相交的子樹（分別稱為左子樹和右子樹）組成，如下圖所示。
二叉樹的類型
嚴格二叉樹：二叉樹中的每個節點要麽有兩個孩子結點，要麽沒有孩子結點
滿二叉樹：
完全二叉樹：在定義完全二叉樹之前，假定二叉樹的高度為h；對於完全二叉樹，如果將所有結點從根節點開始從左至右，從上至下，依次編號（假定根節點的編號為1），那麽僵得到從1~n（n為結點總數）的完整序列，在遍歷過程中對於空指針也賦予編號，如果所有伽椰子結點的深度為h或h-1，且在結點編號序列中沒有漏掉任何數字，那麽這樣的二叉樹叫作完全二叉樹。
二叉樹的應用
- 編譯器中的表達式樹；
- 用於數據壓縮算法中的赫夫曼編碼樹；
- 支持在集合中查找、插入和刪除，其平均時間復雜度為O(lognn)的二叉搜索樹（BST）；
- 優先隊列（PQ），它支持以對數時間（最壞情況下）對集合中的最小（或最大）數據元素進行搜索和刪除；
二叉樹的遍歷
訪問樹中所有結點的過程叫作樹的遍歷，在遍歷過程中，每個結點只能被處理一次，盡管其有可能被訪問多次；根據結點處理順序的不同，。可以定義不同的遍歷方法，遍歷分類可以根據當前節點被處理的順序來劃分：
前序遍歷
在前序遍歷中，每個結點都是在它的子樹遍歷之前進行處理，這是最容易理解的便利方法，然而，盡管每個結點在其子樹之前進行了處理，但在向下移動的過程仍然需要保留一些信息，以上圖為例，首先訪問結點1，隨後遍歷其左子樹，最後遍歷其右子樹，因此當左子樹遍歷完後，必須要返回到其右子樹來繼續遍歷；為了能夠在左子樹遍歷完成後移動到右子樹，必須保留根節點的信息，能夠實現該信息存儲的抽象數據類型顯而易見是棧，由於它是LIFO的結構，所以它可以以逆序來匯過去該信息並返回到右子樹；
前序遍歷可以如下定義：
- 訪問根節點；
- 按前序遍歷方式遍歷左子樹；
- 按前序遍歷方式遍歷右子樹；
利用前序遍歷方法上圖所示的樹的輸出序列為：1 2 4 5 3 6 7
void preOrder(BinaryTreeNode root) {
if (null != root) {
System.out.println(root.getData());
preOrder(root.getLeft());
preOrder(root.getRight());
}
}中序遍歷
在中序遍歷中，根節點的訪問在兩棵子樹的遍歷中間完成，中序遍歷如下定義：
- 按中序遍歷方式遍歷左子樹；
- 訪問根節點；
- 按中序遍歷方式遍歷右子樹；
基於中序遍歷，上圖所示樹的中序遍歷輸出順序為：4 2 5 1 6 3 7
void inOrder(BinaryTreeNode root) {
if (null != root) {
inOrder(root.getLeft());
System.out.println(root.getData());
inOrder(root.getRight());
}
}後序遍歷
在後續遍歷中，根節點的訪問是在其兩棵子樹都遍歷完成後進行的，後續遍歷如下定義：
- 按後序遍歷左子樹；
- 按後序遍歷右子樹；
- 訪問根節點；
對上圖所示的二叉樹，後續遍歷產生的輸出序列為：4 5 2 6 7 3 1
void postOrder(BinaryTreeNode root) {
if (null != root) {
postOrder(root.getLeft());
postOrder(root.getRight());
System.out.println(root.getData());
}
}層次遍歷
層次遍歷的定義如下：
- 訪問根節點；
- 在訪問第l層時，將l+1層的節點按順序保存在隊列中；
- 進入下一層並訪問該層的所有結點；
- 重復上述操作直至所有層都訪問完；
對於上圖所示的二叉樹，層次遍歷產生的輸出序列為：1 2 3 4 5 6 7
void levelOrder(BinaryTreeNode root) {
BinaryTreeNode temp;
LoopQueue Q = new LoopQueue();
if (null == root) {
return;
}
Q.enqueue(root);
while (!Q.isEmpty()) {
temp = Q.dequeue();
// 處理當前節點
System.out.println(temp.getData());
if (temp.getLeft()) {
Q.enqueue(temp.getLeft());
}
if (temp.getRight()) {
Q.enqueue(temp.getRight());
}
}
// 刪除隊列中的所有數據
Q.deletequeue();
}二叉搜索樹
在二叉搜索樹中，所有左子樹結點的元素小於根節點的數據，所有右子樹結點的元素大於根節點數據，註意，樹中的每個結點都應滿足這個性質；
實現自己的二叉搜索樹
其中包含了常用的一些方法，包括幾種遍歷方法還有查詢、刪除等，僅供參考：
public class BST<E extends Comparable<E>> {
private class Node{
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e){
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST(){
root = null;
size = 0;
}
public int size(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
// 向二分搜索樹中添加新的元素e
public void add(E e){
root = add(root, e);
}
// 向以node為根的二分搜索樹中插入元素e，遞歸算法
// 返回插入新節點後二分搜索樹的根
private Node add(Node node, E e){
if(node == null){
size ++;
return new Node(e);
}
if(e.compareTo(node.e) < 0)
node.left = add(node.left, e);
else if(e.compareTo(node.e) > 0)
node.right = add(node.right, e);
return node;
}
// 看二分搜索樹中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
return contains(root, e);
}
// 看以node為根的二分搜索樹中是否包含元素e, 遞歸算法
private boolean contains(Node node, E e){
if(node == null)
return false;
if(e.compareTo(node.e) == 0)
return true;
else if(e.compareTo(node.e) < 0)
return contains(node.left, e);
else // e.compareTo(node.e) > 0
return contains(node.right, e);
}
// 二分搜索樹的前序遍歷
public void preOrder(){
preOrder(root);
}
// 前序遍歷以node為根的二分搜索樹, 遞歸算法
private void preOrder(Node node){
if(node == null)
return;
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
// 二分搜索樹的非遞歸前序遍歷
public void preOrderNR(){
Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()){
Node cur = stack.pop();
System.out.println(cur.e);
if(cur.right != null)
stack.push(cur.right);
if(cur.left != null)
stack.push(cur.left);
}
}
// 二分搜索樹的中序遍歷
public void inOrder(){
inOrder(root);
}
// 中序遍歷以node為根的二分搜索樹, 遞歸算法
private void inOrder(Node node){
if(node == null)
return;
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
// 二分搜索樹的後序遍歷
public void postOrder(){
postOrder(root);
}
// 後序遍歷以node為根的二分搜索樹, 遞歸算法
private void postOrder(Node node){
if(node == null)
return;
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}
// 二分搜索樹的層序遍歷
public void levelOrder(){
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
while(!q.isEmpty()){
Node cur = q.remove();
System.out.println(cur.e);
if(cur.left != null)
q.add(cur.left);
if(cur.right != null)
q.add(cur.right);
}
}
// 尋找二分搜索樹的最小元素
public E minimum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
return minimum(root).e;
}
// 返回以node為根的二分搜索樹的最小值所在的節點
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 尋找二分搜索樹的最大元素
public E maximum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
return maximum(root).e;
}
// 返回以node為根的二分搜索樹的最大值所在的節點
private Node maximum(Node node){
if(node.right == null)
return node;
return maximum(node.right);
}
// 從二分搜索樹中刪除最小值所在節點, 返回最小值
public E removeMin(){
E ret = minimum();
root = removeMin(root);
return ret;
}
// 刪除掉以node為根的二分搜索樹中的最小節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 從二分搜索樹中刪除最大值所在節點
public E removeMax(){
E ret = maximum();
root = removeMax(root);
return ret;
}
// 刪除掉以node為根的二分搜索樹中的最大節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMax(Node node){
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
// 從二分搜索樹中刪除元素為e的節點
public void remove(E e){
root = remove(root, e);
}
// 刪除掉以node為根的二分搜索樹中值為e的節點, 遞歸算法
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node remove(Node node, E e){
if( node == null )
return null;
if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
node.left = remove(node.left , e);
return node;
}
else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
node.right = remove(node.right, e);
return node;
}
else{ // e.compareTo(node.e) == 0
// 待刪除節點左子樹為空的情況
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待刪除節點右子樹為空的情況
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待刪除節點左右子樹均不為空的情況
// 找到比待刪除節點大的最小節點, 即待刪除節點右子樹的最小節點
// 用這個節點頂替待刪除節點的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
@Override
public String toString(){
StringBuilder res = new StringBuilder();
generateBSTString(root, 0, res);
return res.toString();
}
// 生成以node為根節點，深度為depth的描述二叉樹的字符串
private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){
if(node == null){
res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
return;
}
res.append(generateDepthString(depth) + node.e +"\n");
generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
}
private String generateDepthString(int depth){
StringBuilder res = new StringBuilder();
for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
res.append("--");
return res.toString();
}
}LeetCode相關題目整理
94.二叉樹的中序遍歷
我的答案：（1ms）
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
List result = new ArrayList();
if (null != root) {
result.addAll(inorderTraversal(root.left));
result.add(root.val);
result.addAll(inorderTraversal(root.right));
}
return result;
}參考答案：（0ms）
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> list=new ArrayList<>();
traversal(root, list);
return list;
}
public void traversal(TreeNode root,List<Integer> list) {
if(root!=null){
traversal(root.left, list);
list.add(root.val);
traversal(root.right, list);
}
}98. 驗證二叉搜索樹
我的答案：（53ms）
private static int INT_MIN = Integer.MIN_VALUE;
private static int INT_MAX = Integer.MAX_VALUE;
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
// 如果節點為空則滿足二叉搜索樹條件
if (null == root) {
return true;
}
// 如果左孩子結點大於了根節點則返回false
if (null != root.left && findMax(root.left) > root.val) {
return false;
}
// 如果右孩子結點小於了根節點則返回false
if (null != root.right && findMin(root.right) < root.val) {
return false;
}
// 遞歸判斷左子樹和右子樹，若其中有一顆不是BST樹，則返回false
if (!isValidBST(root.left) || !isValidBST(root.right)) {
return false;
}
// 通過所有判斷則是一顆BST樹
return true;
}
/**
* 找到一顆非空樹中的最大值
*
* @param root
* @return
*/
private int findMax(TreeNode root) {
int maxVal = INT_MIN;
int leftMaxVal = INT_MIN;
int rightMaxVal = INT_MIN;
if (null != root) {
// 最大值默認等於當前節點值
maxVal = root.val;
leftMaxVal = findMax(root.left);
rightMaxVal = findMax(root.right);
// maxVal等於當前maxVal與leftMaxVal中較大的一個
maxVal = maxVal > leftMaxVal ? maxVal : leftMaxVal;
// maxVal等於當前maxVal與rightMaxVal中較大的一個
maxVal = maxVal > rightMaxVal ? maxVal : rightMaxVal;
}
return maxVal;
}
/**
* 找到一顆非空樹的最小值
*
* @param root
* @return
*/
private int findMin(TreeNode root) {
int minVal = INT_MAX;
int leftMinVal = INT_MAX;
int rightMinVal = INT_MAX;
if (null != root) {
// 最小值默認為當前節點值
minVal = root.val;
leftMinVal = findMin(root.left);
rightMinVal = findMin(root.right);
// minVal等於當前minVal與leftMinVal中較小的一個
minVal = minVal < leftMinVal ? minVal : leftMinVal;
// minVal等於當前minVal與rightMinVal中較小的一個
minVal = minVal < rightMinVal ? minVal : rightMinVal;
}
return minVal;
}自己寫的時候提交錯了很多次..沒有掌握到二分搜索樹的精髓..
參考答案：（2ms）
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
if (root == null) return true;
return valid(root, Long.MIN_VALUE, Long.MAX_VALUE);
}
public boolean valid(TreeNode root, long low, long high) {
if (root == null) return true;
if (root.val <= low || root.val >= high) return false;
return valid(root.left, low, root.val) && valid(root.right, root.val, high);
}這答案寫得我服了..真服..
101. 對稱二叉樹（劍指Offer面試題28）
參考答案：（12ms）
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
return isSymmetric(root, root);
}
public boolean isSymmetric(TreeNode root1, TreeNode root2) {
if (null == root1 && null == root2) {
return true;
}
if (null == root1 || null == root2) {
return false;
}
if (root1.val != root2.val) {
return false;
}
return isSymmetric(root1.left, root2.right) && isSymmetric(root1.right, root2.left);
}自己做的思路是使用中序遍歷來判斷（轉成數組之後是對稱的），但是出了很多問題，就是需要考慮null值，中序遍歷中並不能很好地把一棵樹保存為一個完整二叉樹的樣子..所以看了下參考答案..寫得服..
104. 二叉樹的最大深度（劍指Offer面試題55）
我的答案：（3ms）
public int maxDepth(TreeNode root) {
int leftHeight, rightHeight;
if (null == root) {
return 0;
} else { // 計算每個子樹的高度
leftHeight = maxDepth(root.left);
rightHeight = maxDepth(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
}參考答案：（0ms）
public int maxDepth(TreeNode root) {
if(root==null)
return 0;
return Math.max(maxDepth(root.left)+1,maxDepth(root.right)+1);
}105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹（劍指Offer面試題7）
參考答案：（2ms）
public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
if (preorder == null || preorder.length == 0) {
return null;
}
return buildTree(preorder, inorder, 0, 0, inorder.length - 1);
}
private TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder, int ps, int is, int ie) {
int val = preorder[ps];
TreeNode node = new TreeNode(val);
int iRoot = ie;
while (iRoot > is) {
if (val == inorder[iRoot]) {
break;
}
iRoot--;
}
if (iRoot > is) {
node.left = buildTree(preorder, inorder, ps + 1, is, iRoot - 1);
}
if (iRoot < ie) {
node.right = buildTree(preorder, inorder, ps + 1 + (iRoot - is), iRoot + 1, ie);
}
return node;
}思路是這樣的：在二叉樹的前序遍歷序列中，第一個數字總是樹的根節點的值，但在中序遍歷序列中，根節點的值保存在序列的中間，左子樹的節點的值位於根節點的值的左邊，而右子樹則相反，然後既然找到了左右子樹我們又可以使用同樣的方法在前序和中序中分別構建左右子樹，這樣我們就能夠使用遞歸的方法完成；（上面算法中的ps、is、ie分別表示前序的開始位置，中序的開始位置和中序的結束位置；）
113. 路徑總和 II（劍指Offer面試題34）
參考答案：（3ms）
public List<List<Integer>> pathSum(TreeNode root, int sum) {
List<Integer> nodeList = new ArrayList<Integer>();
List<List<Integer>> sumList = new ArrayList<List<Integer>>();
if (root == null) {
return sumList;
}
pathSum2(root, sum, sumList, nodeList);
return sumList;
}
public void pathSum2(TreeNode root, int target,
List<List<Integer>> sumList, List<Integer> nodeList) {
if (root.left == null && root.right == null) {
nodeList.add(root.val);
int sum = 0;
for (Integer integer : nodeList) {
sum += integer;
}
if (sum == target) {
sumList.add(new ArrayList<Integer>(nodeList));
}
return;
}
nodeList.add(root.val);
if (root.left != null) {
pathSum2(root.left, target, sumList, nodeList);
nodeList.remove(nodeList.size() - 1);
}
if (root.right != null) {
pathSum2(root.right, target, sumList, nodeList);
nodeList.remove(nodeList.size() - 1);
}
}230. 二叉搜索樹中第K小的元素（類似劍指Offer面試題54）
我的答案：（23ms）
public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
// 正確性判斷
if (null == root || k < 1) {
return -1;
}
List<Integer> result = preOrder(root);
// 從小到大排序
Collections.sort(result);
return result.get(k - 1);
}
/**
* 遍歷整棵樹並返回一個List
*
* @param root
* @return
*/
private List<Integer> preOrder(TreeNode root) {
List result = new ArrayList();
if (null != root) {
result.add(root.val);
result.addAll(preOrder(root.left));
result.addAll(preOrder(root.right));
}
return result;
}賊蠢，完全沒有用到二叉搜索樹的特性
參考答案：（1ms）
public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
int count = countNodes(root.left);
if (k <= count) {
return kthSmallest(root.left, k);
} else if (k > count + 1) {
return kthSmallest(root.right, k - 1 - count);
}
return root.val;
}
public int countNodes(TreeNode n) {
if (n == null) return 0;
return 1 + countNodes(n.left) + countNodes(n.right);
}449. 序列化二叉搜索樹（類似劍指Offer面試題37）
參考答案：（12ms）
// Encodes a tree to a single string.
public String serialize(TreeNode root) {
StringBuffer sb = new StringBuffer();
preOrder(root,sb);
return sb.toString();
}
private static void preOrder(TreeNode root, StringBuffer sb){
if(root==null)
return;
sb.append(root.val).append(‘#‘);
preOrder(root.left,sb);
preOrder(root.right,sb);
}
// Decodes your encoded data to tree.
public TreeNode deserialize(String data) {
if(data==null)
return null;
int val =0;
TreeNode root = null;
for(int i=0;i<data.length();i++){
if(data.charAt(i)!=‘#‘){
val = val*10+(data.charAt(i)-‘0‘);
}else{
root = insert(root,val);
val=0;
}
}
return root;
}
private static TreeNode insert(TreeNode root,int val){
if(root==null)
return new TreeNode(val);
if(root.val<val)
root.right = insert(root.right,val);
else
root.left = insert(root.left,val);
return root;
}572. 另一個樹的子樹（類似劍指Offer面試題26）
參考答案：（15ms）
public boolean isSubtree(TreeNode s, TreeNode t) {
// Write your code here
if (s == null) {
return t == null;
}
if (s.val == t.val && isSametree(s, t)) {
return true;
}
return isSubtree(s.left, t) | isSubtree(s.right, t);
}
private boolean isSametree(TreeNode s, TreeNode t) {
if (s == null) {
return t == null;
}
if (t == null) {
return false;
}
if (s.val != t.val) {
return false;
}
return isSametree(s.left, t.left) & isSametree(s.right, t.right);
}我的第一個反應還是去把兩棵樹的前序遍歷的數組弄出來然後判斷是否為子集，但是樹這樣的天然遞歸結構這樣寫很自然...
簡單總結
還是只是簡單復習了一下樹的相關知識吧，通過刷LeetCode題目還有參照著劍指Offer對二叉樹、二叉搜索樹僅僅這兩種結構有了一個較深的認識，因為後續還會繼續用到，所以這裏簡單復習一下也無所謂，不過看著題目倒是感覺這樣的結構很容易考面試題啊，因為這些結構既重要考點又多...
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