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「BZOJ2038」[2009國家集訓隊] 小Z的襪子(hose)

Description

作為一個生活散漫的人，小Z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終於有一天，小Z再也無法忍受這惱人的找襪子過程，於是他決定聽天由命……
具體來說，小Z把這N只襪子從1到N編號，然後從編號L到R(L 盡管小Z並不在意兩只襪子是不是完整的一雙，甚至不在意兩只襪子是否一左一右，他卻很在意襪子的顏色，畢竟穿兩只不同色的襪子會很尷尬。
你的任務便是告訴小Z，他有多大的概率抽到兩只顏色相同的襪子。當然，小Z希望這個概率盡量高，所以他可能會詢問多個(L,R)以方便自己選擇。

Input

輸入文件第一行包含兩個正整數N和M。N為襪子的數量，M為小Z所提的詢問的數量。接下來一行包含N個正整數Ci，其中Ci表示第i只襪子的顏色，相同的顏色用相同的數字表示。再接下來M行，每行兩個正整數L，R表示一個詢問。

Output

包含M行，對於每個詢問在一行中輸出分數A/B表示從該詢問的區間[L,R]中隨機抽出兩只襪子顏色相同的概率。若該概率為0則輸出0/1，否則輸出的A/B必須為最簡分數。（詳見樣例）

Sample Input

Sample Output

莫隊算法
如果我們已知[l,r]的答案，能在O(1)時間得到[l+1,r]的答案以及[l,r-1]的答案，即可使用莫隊算法。時間復雜度為O(n^1.5)。如果只能在logn的時間移動區間，則時間復雜度是O(n^1.5*log n)。
其實就是找一個數據結構支持插入、刪除時維護當前答案。

這道題的話我們很容易用數組來實現，做到O(1)的從[l,r]轉移到[l,r+1]與[l+1,r]。

那麽莫隊算法怎麽做呢？以下都是在轉移為O(1)的基礎下討論的時間復雜度。另外由於n與m同階，就統一寫n。
如果已知[l,r]的答案，要求[l’,r’]的答案，我們很容易通過|l – l’|+|r – r’|次轉移內求得。
將n個數分成sqrt(n)塊。
按區間排序，以左端點所在塊內為第一關鍵字，右端點為第二關鍵字，進行排序，也就是以(pos [l]，r)排序
然後按這個排序直接暴力，復雜度分析是這樣的：
1、i與i+1在同一塊內，r單調遞增，所以r是O(n)的。由於有n^0.5塊,所以這一部分時間復雜度是n^1.5。
2、i與i+1跨越一塊，r最多變化n，由於有n^0.5塊，所以這一部分時間復雜度是n^1.5
3、i與i+1在同一塊內時l變化不超過n^0.5，跨越一塊也不會超過n^0.5，忽略*2。由於有m次詢問（和n同級），所以時間復雜度是n^1.5
於是就是O(n^1.5)了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MOD 2018
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Pair pair<int, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define _  ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
//freopen("1.txt", "r", stdin);
using namespace std;
const int maxn = 50001, INF = 0x7fffffff;
int n, m, pos[maxn], c[maxn];
LL ans, s[maxn];

struct node
{
    int r, l, id;
    LL a, b;      //a是分子  b是分母
}Node[maxn];

bool cmp(node x, node y)
{
    if(pos[x.l] == pos[y.l]) return x.r < y.r;
    return x.l < y.l;
}

bool cmp_id(node x, node y)
{
    return x.id < y.id;
}

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}


void update(int p, int add)   //ans=ans?ci^2+(ci+1)^2   ans=ans?ci^2+(ci?1)^2
{
    ans -= s[c[p]] * s[c[p]];
    s[c[p]] += add;
    ans += s[c[p]] * s[c[p]];
}


int main()
{
    ans = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%d",&c[i]);
    int block = sqrt(n);
    for(int i=1; i<=n; i++)   //劃分塊
        pos[i] = (i-1)/block + 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        cin>> Node[i].l >> Node[i].r;
        Node[i].id = i;
    }
    sort(Node+1, Node+m+1, cmp);   //按區間左端點和塊排序

    for(int i=1, l=1, r=0; i<=m; i++)    //初始l比r大才能保證初始ans是0
    {
        for(; r < Node[i].r; r++)   //拓展區間
            update(r+1, 1);
        for(; r > Node[i].r; r--)   //縮短區間
            update(r, -1);
        for(; l < Node[i].l; l++)   //縮短區間
            update(l, -1);
        for(; l > Node[i].l; l--)   //拓展區間
            update(l-1, 1);
        if(Node[i].l == Node[i].r)
        {
            Node[i].a = 0;
            Node[i].b = 1;
            continue;
        }
        Node[i].a=ans-(Node[i].r-Node[i].l+1);
        Node[i].b=(LL)(Node[i].r-Node[i].l+1)*(Node[i].r-Node[i].l);
        LL k=gcd(Node[i].a,Node[i].b);
        Node[i].a/=k;Node[i].b/=k;
    }
    sort(Node+1, Node+m+1, cmp_id);
    for(int i=1; i<=m; i++)
        printf("%lld/%lld\n",Node[i].a,Node[i].b);

    return 0;
}

小Z的襪子(hose) HYSBZ - 2038 （莫隊算法）