P3924 康娜的線段樹

題目描述

小林是個程序媛，不可避免地康娜對這種人類的“魔法”產生了濃厚的興趣，於是小林開始教她\(OI\)。

今天康娜學習了一種叫做線段樹的神奇魔法，這種魔法可以維護一段區間的信息，是非常厲害的東西。康娜試著寫了一棵維護區間和的線段樹。由於她不會打標記，因此所有的區間加操作她都是暴力修改的。具體的代碼如下：

struct Segment_Tree{
#define lson (o<<1)
#define rson (o<<1|1)
    int sumv[N<<2],minv[N<<2];
    inline void pushup(int o){sumv[o]=sumv[lson]+sumv[rson];}
    inline void build(int o,int l,int r){
        if(l==r){sumv[o]=a[l];return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);
        pushup(o);
    }
    inline void change(int o,int l,int r,int q,int v){
        if(l==r){sumv[o]+=v;return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        if(q<=mid)change(lson,l,mid,q,v);
        else change(rson,mid+1,r,q,v);
        pushup(o);
    }
}T; 
 

在修改時，她會這麽寫：

for(int i=l;i<=r;i++)T.change(1,1,n,i,addv);

顯然，這棵線段樹每個節點有一個值，為該節點管轄區間的區間和。

康娜是個愛思考的孩子，於是她突然想到了一個問題：

如果每次在線段樹區間加操作做完後，從根節點開始等概率的選擇一個子節點進入，直到進入葉子結點為止，將一路經過的節點權值累加，最後能得到的期望值是多少？

康娜每次會給你一個值\(qwq\)，保證你求出的概率乘上\(qwq\)是一個整數。

這個問題太簡單了，以至於聰明的康娜一下子就秒了。

現在她想問問你，您會不會做這個題呢？

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行整數\(n,m,qwq\)

第二行\(n\)個數，表示原序列。

接下來\(m\)行，每行三個數\(l,r,x\)表示對區間\([l,r]\)加上\(x\)

輸出格式：

共\(m\)行，表示期望的權值和乘上\(qwq\)結果。

說明

對於30%的數據，保證 \(1 \leq n,m \leq 100\)

對於70%的數據，保證 \(1 \leq n,m, \leq 10^{5}\)

對於100%的數據，保證 \(1 \leq n,m \leq 10^6\)

\(-1000 \leq a_i,x \leq 1000\)

其實題目不難，然而我概率期望學的差，還是不怎麽會做。

我們發現，其實每個葉子節點的貢獻的不會變的，則第\(i\)

根據條件概率，每一個大區間出現的概率都是它的子區間的兩倍，所以我們以最小的區間算做1，統計每個葉子節點的貢獻次數，最後再除以\(\lceil logn \rceil\)即可。

具體實現可以直接模擬建樹統計。

然後我們發現操作只有區間加和全局詢問。

區間加我們可以通過葉子節點貢獻次數前綴和維護全局偏移量。

復雜度:\(O(nlogn+m)\)

Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
const ll N=1000010;
ll dat[N],cnt[N],f[N],ans,QAQ,n,m,d,dep[N];
void build(ll l,ll r,ll Dep)
{
    if(l==r)
    {
        dep[l]=Dep;
        d=max(d,Dep);
        return;
    }
    ll mid=l+r>>1;
    build(l,mid,Dep+1);
    build(mid+1,r,Dep+1);
}
void init()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&QAQ);
    build(1,n,1);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dep[i]==d)
            cnt[i]=(1<<d)-1;
        else
            cnt[i]=(1<<d)-2;
        scanf("%lld",dat+i);
        f[i]=f[i-1]+cnt[i];
        ans+=cnt[i]*dat[i];
    }
}
void work()
{
    ll l,r,x;
    d=1<<d-1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
        ans+=(f[r]-f[l-1])*x;
        printf("%lld\n",(QAQ/d*ans));
    }
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}

2018.7.21

洛谷 P3924 康娜的線段樹 解題報告