【題解】 AtCoder ARC 076 F - Exhausted? （霍爾定理+線段樹）
阿新 • • 發佈：2018-08-23
r+ uil mat amp con pan com cnblogs 找出最大值
題面
題目大意:
給你\(m\)張椅子，排成一行，告訴你\(n\)個人，每個人可以坐的座位為\([1,l]\bigcup[r,m]\)，為了讓所有人坐下，問至少還要加多少張椅子。
Solution:
- 為什麽加椅子？我們可以在最左邊或最右邊一直加直到人人都有座位。
- 首先這道題目抽象成二分圖很簡單，然後我們可以只要求解出人與座位的最大匹配是多少，總人數減去即可，但跑二分圖最大匹配顯然會超時，我們就可以往霍爾定理方面想。
- 然後你還需要知道一個霍爾定理推論：假設某個人的集合為\(X\)，這個集合所對應的椅子的集合為\(Y\)，如果\(|X|\leq|Y|\)，則具有完美匹配，如果\(|X|\geq|Y|\)，則\(X\)至少要刪去\(|X|-|Y|\)個元素，才能有完備匹配，我們定義\(\Gamma(X)=|X|-|Y|\)。
在這題裏，這個就是至少需要添加的椅子數目，所以我們要找出最大的\(\Gamma(X)\)
- 接下來我們就來分析怎麽找出最大的\(\Gamma(X)\)，因為\(X\)不具有任何性質，不好下手，我們考慮\(Y\)有啥特點，他一定是\([1,l]\bigcup[r,m]\)，然後我們可以通過這個\(Y\)確定\(|X|\)，所以會有一下做法
法一：暴力枚舉
- 暴力枚舉\(l,r\)，椅子的個數為\(l+m-r+1\)，通過上面的定理處理出答案，找出\(\Gamma\)最大值。時間復雜度：\(O(n^2)\)
貌似會更高到三方
法二：與其說是法二不如說是法一優化
- 我們考慮上面的算法哪一些地方是冗余的。假設我們枚舉出\(l\)，根據法一，我們會枚舉出所有的\(r\)，顯然不用枚舉所有的，實際上只有找出這個\(l\)對應後面的\(r\)算出來的最大值，如何快速查詢出最大值，我們考慮使用線段樹。
- 具體如何優化這個問題：計算式子是人數\(-(l+m-r+1)\)。
- 因為固定了\(l\)，我們可以確定現在最多有多少人，總人數與\(l'\)有關（\(l'<l\)）所以我們把\(l\)從小到大排序，把人數不斷往線段樹裏面丟。
- 具體多少人根據\(r\)決定，某一個人要加入計算的人數內，必須是他所允許的所有椅子範圍都在討論範圍內，比如這個\(l=l_i\)，那麽\(r<=r_i,r>=0\)的人數都可以加一（因為我們此時\(l\)是固定的，保證了這個人\(l\)在範圍內，如果枚舉的\(r\geq r_i\)，那麽這個人數是要算進去的）。
- 如果上面你看懂了，那就很好辦了，我們會發現對於枚舉的\(r\)，式子中的人數\(-m-1+r\)是一樣的，人數我們是在推進\(l\)同時加入線段樹，\(-m-1+r\)我們就可以提前加入線段樹（建樹）
- 對於一種特殊的情況，比如說：\(l_i=1,r_i=1\)，那麽他能放的範圍為所有，所以我們要判斷\(m-n\)為答案的情況
- 對於普通枚舉\(l\)，我們沒必要考慮全部集合情況，所以我們就只用在線段樹\(l+2\rightarrow m+1\)找出最大值減去\(l\)，得到的答案與\(ans\)取\(max\)就\(ok\)啦
- 下面我們來將
亂搞做法，我們把人按\(l\)排序，枚舉到人後把他可以座椅子的範圍用線段樹標記，然後算出總可以坐的椅子數與人數相比較，求出每次\(ans\)的\(max\)，一開始錯兩個點，然後排了兩個序，算兩次就只錯一個點了。這個方法顯然是不對噠！！因為顯然有一些人的子集沒有枚舉到。
這道題好理解吧(毛線，我起碼看了一個下午才看懂，去吃飯的路上突然懂了23333)
對了貪心也可以過這道題，只不過做法沒這麽優美罷了
Attention:
- 線段樹是從\(0\rightarrow m+1\)，因為人的\(l,r\)包含\(0,m+1\)
- 特殊情況，\(|X|=n\)
枚舉出\(l\)後，找最大值一定是從\([l+1,m+1]\)中找
First, 你枚舉的\(r\)要\(>l\)。
Second,\(|X|=n\)已經被考慮（沒那個必要了，其實你從\(l+1\)開始也不影響）
Code:
//It is coded by ning_mew on 7.16
#include<bits/stdc++.h>
#define ls(x) (x*2)
#define rs(x) (x*2+1)
using namespace std;
const int maxn=2e5+7,inf=1e9+7;
int n,m,ans=0;
struct Opt{int l,r;}p[maxn];
struct Node{int lazy,maxx;}node[maxn*4];
bool cmp(const Opt &A,const Opt &B){return A.l<B.l;}
void pushdown(int num,int nl,int nr){
if(!node[num].lazy)return;
int lz=node[num].lazy; node[num].lazy=0;
node[ls(num)].maxx+=lz;node[ls(num)].lazy+=lz;
node[rs(num)].maxx+=lz;node[rs(num)].lazy+=lz;
}
void update(int num){node[num].maxx=max(node[ls(num)].maxx,node[rs(num)].maxx);}
void build(int num,int nl,int nr){
node[num].lazy=0; if(nl==nr){node[num].maxx=nr-m-1;return;}
int mid=(nl+nr)/2;
build(ls(num),nl,mid);build(rs(num),mid+1,nr);
update(num);
}
void add(int num,int nl,int nr,int ql,int qr,int ad){
if(ql<=nl&&nr<=qr){node[num].maxx+=ad;node[num].lazy+=ad;return;}
if(nr<ql||qr<nl)return;
int mid=(nl+nr)/2;pushdown(num,nl,nr);
add(ls(num),nl,mid,ql,qr,ad);add(rs(num),mid+1,nr,ql,qr,ad);
update(num);return;
}
int quary(int num,int nl,int nr,int ql,int qr){
if(ql<=nl&&nr<=qr)return node[num].maxx;
if(nr<ql||qr<nl)return -inf;
int mid=(nl+nr)/2;pushdown(num,nl,nr);
return max(quary(ls(num),nl,mid,ql,qr),quary(rs(num),mid+1,nr,ql,qr));
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].r);
sort(p+1,p+n+1,cmp);p[n+1].l=inf;
build(1,0,m+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
add(1,0,m+1,0,p[i].r,1);
if(p[i].l!=p[i+1].l&&p[i].l<=m-1)ans=max(ans,quary(1,0,m+1,p[i].l+2,m+1)-p[i].l);
}ans=max(ans,n-m);printf("%d\n",ans);
return 0;
}博主蒟蒻，隨意轉載。但必須附上原文鏈接：http://www.cnblogs.com/Ning-Mew/，否則你會場場比賽暴0！！！
【題解】 AtCoder ARC 076 F - Exhausted? （霍爾定理+線段樹）