一、二次不等式

\(\fbox{例1}\) (數字系數的二次不等式)

解關於\(x\)的不等式\(-x^2+4x-3 \ge 0\)

\(\fbox{例2}\) (含參數的二次不等式，一動根一靜根)

解關於\(x\)的不等式\((x-2)[x-(3a+1)]<0\)

\(\fbox{例3}\) (含參數的二次不等式，兩動根)

解關於\(x\)的不等式\(x^2-\cfrac{a}{2}x-\cfrac{a^2}{2}<0\)

分析：將原不等式等價轉化為\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})<0\)，令\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})=0\)，則方程的兩個根為\(x=-\cfrac{a}{2}\)

當\(-\cfrac{a}{2}<a\)時，即\(a>0\)時，不等式的解集為\((-\cfrac{a}{2}，a)\)；

當\(-\cfrac{a}{2}=a\)時，即\(a=0\)時，不等式的解集為\(\varnothing\)；

當\(-\cfrac{a}{2}>a\)時，即\(a<0\)時，不等式的解集為\((a，-\cfrac{a}{2})\)；

\(\fbox{例4}\) (含參數的二次不等式，兩動根)

解關於\(x\)的不等式\(x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0\)

分析：將原不等式等價轉化為\((x-a^2)(x-a)\leq 0\)

\(1^{\circ}\) 當\(a^2>a\)，即\(a<0\)或\(a>1\)時，解集為\([a，a^2]\)；

\(2^{\circ}\) 當\(a^2=a\)，即\(a=0\)或\(a=1\)時，解集為\(\{0，1\}\)；

\(3^{\circ}\) 當\(a^2<a\)，即\(0<a<1\)時，解集為\([a^2，a]\)；

綜上所述，當\(a<0\)或\(a>1\)時，解集為\([a，a^2]\)；當\(a=0\)或\(a=1\)時，解集為\(\{0，1\}\)；當\(0<a<1\)

\(\fbox{例5}\) (含參數的二次不等式，兩動根)

解關於\(x\)的不等式\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0\).

分析：

當\(a=1\)時，

當\(a\neq 1\)時，

二、能轉化為含有參數的二次不等式

設函數\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)\)．

（Ⅰ）討論\(f(x)\)的單調性；

【分析】（Ⅰ）利用導數轉化為求解含有參數a的不等式，給導函數的分子配方就能找到分類討論的標準。

【解答】（Ⅰ）導數法研究單調性，先求出定義域\((-1，+\infty)\)，

\(f'(x)=x+\cfrac{a}{x+1}=\cfrac{x(x+1)+a}{x+1}\)

\(=\cfrac{x^2+x+a}{x+1}\)

\(=\cfrac{(x+\cfrac{1}{2})^2+a-\cfrac{1}{4}}{x+1}\)，

①當\(a≥\cfrac{1}{4}\)時，\(f'(x)≥0\)恒成立，且當\(a=\cfrac{1}{4}\)時僅僅在\(x=-\cfrac{1}{2}\)處取到等號，故函數\(f(x)\)在\((-1，+∞)\)上單調遞增；

②當\(a<\cfrac{1}{4}\)時，令\(x^2+x+a=0\)，得到\(x=\cfrac{-1±\sqrt{1-4a}}{2}\)，接下來將其中的小根和-1作比較，

當\(-1<\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)時，即\(0<a<\cfrac{1}{4}\)時，

\(x\in (-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

\(x\in(\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，

\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

當\(-1=\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)時，即\(a=0\)時，\(x\in (-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

當\(-1>\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)時，即\(a<0\)時，\(x\in(-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

綜上所述，當\(a≥\cfrac{1}{4}\)時，函數\(f(x)\)的單調遞增區間為\((-1，+∞)\)，無單調遞減區間；

當\(0<a<\cfrac{1}{4}\)時，單調遞增區間為\((-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)和\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)，單調遞減區間為\((\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)；

當\(a≤0\)時，單調遞減區間為\((-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)，單調遞增區間為\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)；

三、關於二次不等式的恒成立問題

角度一 形如\(f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)\)型的不等式確定參數範圍

\(\fbox{例3}\)(2017銅川模擬)不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)對於任意的\(a，b\in R\)恒成立，則實數\(\lambda\)的取值範圍為_____________。

法1：(將\(b\)和\(\lambda\)看做系數)將不等式轉化為\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)對任意的\(a\in R\)恒成立，則\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

法2：當\(b=0\)時，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；

當\(b\neq 0\)時，原不等式等價於\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)對任意的\(t\in R\)恒成立，則\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

綜上所述(兩種情況取交集)，實數\(\lambda\)的取值範圍為\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

角度二 形如\(f(x)\ge 0(x\in[a，b])\)型的不等式確定參數範圍

\(\fbox{例4}\) 設函數\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\)，若對於\(x\in [1，3]\)，\(f(x)<-m+5\)恒成立，求\(m\)的取值範圍。

法1：利用二次函數求解，要使\(f(x)<-m+5\)恒成立，即\(mx^2-mx+m-6<0\)，即\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)在\(x\in[1,3]\)上恒成立，令\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)，
當\(m>0\)時，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是增函數，所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)，則有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)；
當\(m<0\)時，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是減函數，所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)，則有\(m<0\)；
綜上所述，\(m\)的取值範圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
法2：分類參數法，因為\(x^2-x+1>0\)，由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)，故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立，
又因為函數\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在區間\([1,3]\)上的最小值為\(\cfrac{6}{7}\),故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可，
又因為\(m\neq 0\)，所以\(m\)的取值範圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。

角度三 形如\(f(x)\ge 0(參數m\in[a，b])\)型的不等式確定參數範圍

\(\fbox{例5}\)已知\(a\in[-1,1]\)時不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立，則\(x\)的取值範圍是多少？
分析：主輔元換位，把不等式的左端看成關於\(a\)的一次函數，記為\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，則由\(f(a)>0\)對於任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立，只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，解得\(x<1\)或\(x>3\)，則\(x\)的取值範圍是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).

四、對應練習：

1、(2017新余模擬)不等式\(x^2-2x+5\ge a^2-3a\)對任意實數\(x\)恒成立，則實數\(a\)的取值範圍是
分析：令\(a^2-3a=A\)，\(x^2-2x+5=f(x)\)，則轉化為\(f(x)\ge A\)對任意實數恒成立，即需要求解\(f(x)_{min}\);

2、已知不等式\(x^2-2x+a>0\)對任意實數\(x\in[2,3]\)恒成立，則實數\(a\)的取值範圍是___________.

分析：分離參數得到\(a>-x^2+2x\)對任意實數\(x\in[2,3]\)恒成立，即需要求函數\(f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]\)的\(f(x)_{max}\),\(f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]\),故\(f(x)_{max}=f(2)=0\)，則得到\(a>0\).

3、已知函數\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),對任意實數\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立，若當\(x\in[-1,1]\)時，\(f(x)>0\)恒成立，則\(b\)的取值範圍是_____________.

分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函數的對稱軸\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，

故題目轉化為\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)對任意\(x\in [-1,1]\)恒成立，

用整體法分離參數，得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)對任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。

令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函數\(g(x)_{max}\)；

\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，故\(g(x)\)在區間\([-1，1]\)上單調遞減，則\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，

故\(b^2-b>2\)，解得\(b<-1\)或\(b>2\)。