Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

Example:

Input:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
Output:
 
 7
Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

一個二維矩陣，每一格有一個數值，求從左上走到右下的和最小的路徑。

思路：和不同路徑和思路一樣

• 首先得到初始狀態，可知第一行每個數值就等於前一處的值加上當前值，第一列即等於上一處的值加上當前值：

        for(int i=1; i<m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int i=1; i<n; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i];
        }
 

• 然後每一處等於上側/左側的最小dp值加上當前格的值。由遞推式：dp[i][j] = min (dp[i-1][j] , dp[i][j-1] ) + grid[i][j]

        for(int i=1; i<m; i++) {
            for(int j=1; j<n; j++) {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }

最後返回dp[m-1][n-1]即可

總程式碼：

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        //  2D dp matrix
        if(grid.empty())
            return 0;
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp (m, vector<int> (n, grid[0][0]));
        for(int i=1; i<m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int i=1; i<n; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i];
        }
        for(int i=1; i<m; i++) {
            for(int j=1; j<n; j++) {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1]; }
 

改進：用一位陣列。先得到第一行的值，之後對每一行，如果是第一個值，則等與上一處路徑和加當前值dp[j] = dp[j] + grid[i][j]

其餘地方則為dp[j] = dp[j] + grid[i][j]。

總程式碼：

    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        // 1D dp arr
        if(grid.empty())
            return 0;
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<int> dp(n, grid[0][0]);
        for(int i=1; i<n; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + grid[0][i];
        }
        for(int i=1; i<m; i++) {
            for(int j=0; j<n; j++) {
                if(j==0) {
                    dp[j] = dp[j] + grid[i][j];
                }
                else
                    dp[j] = min(dp[j-1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }