李理論基礎I、II

課程編碼：011D9101Z﹡ 課時：80 學分：4.00 課程屬性：其它 主講教師：聶思安

教學目的要求
李群和李代數(Lie group and Lie algebra)是在1874年由挪威數學家SophusLie為研究微分方程的對稱性而引進的。後經過E. Cartan 和H. Weyl等人的努力，李的理論已成了微分幾何的重要研究工具並發展成完整的代數理論。上世紀初，人們發現了李群和李代數在量子物理起重要作用。如今，它在諸如微分幾何、偏微分方程、拓撲、數論、控制論、代數編碼、可積系統、算子理論、隨機過程和計算數學等領域都有廣泛的應用。另外，上世紀九十年代初，李理論也出現在生物學的遺傳密碼的演變中。
本課程打算詳細介紹李理論的基礎理論。課程的特點是各部分知識的關聯性強，像也一個完整的邏輯劇本。它對培養學生的邏輯推理能力非常有用。

預修課程

教材

主要內容
課程由兩部分組成。第一部分為有限維李代數的結構和有限維表示基礎，共六十個學時。第二部分由任課教師自由發揮，共二十個學時；內容選題如：
李代數的顯式表示理論，李群及其表示和代數群等。細節如下：

(一）、有限維李代數的結構和有限維表示基礎(60學時):
(1)、李代數的定義和例子，冪零性和可解性，Engel定理，李定理，Jordan-Chevalley分解和Cartan可解性判別準則。
(2)、Killing型，有限維半單李代數和它們間的關系；單李代數，半單李代數的單理想分解和導子；李代數的模和表示的定義，Weyl的完全可約性定理和Cartan根空間分解。
(3)、根系的公理和基本性質，特別基存在性；Weyl群及其性質，根系的分類、構造和自同構群；根格和飽和子集。
(4)、根系對有限維半單李代數的結構的決定；Cartan子代數在內自同構群下的共軛性，單李代數的自同構群，例外型單李代數的構造。
(5)、普遍包絡代數和PBW定理，Verma模和有限維半單李代數的有限維不可約模的結構。Weyl特征標公式和有限維不可約模的維數公式；模的張量分解。

(二)、任課教師自由發揮教學選題(三選一，20學時):
(1)、李代數的顯式表示理論：
a、典型李代數的基本微分算子表示，非典型微分算子表示。
b、旗型偏微分方程的多項式解,調和多項式基本定理和推廣。
c、沈的混合積定理, 特殊線性李代數和辛李代數的射影微分算子表示及推廣，正交李代數的共形微分算子表示及推廣.

(2)、李群及其表示：
a、李群和李代數關系，指數映射；緊李群的Cartan子群和根系，實約化群的Cartan分解，實約化群的Iwasawa分解。
b、齊性流形和商群；覆蓋同態和單連通李群，連續同態和閉子群。
c、李群的有限維表示及共軛表示，Weyl酉技巧及緊李群的有限維表示，緊李群的無窮維酉表示及Peter-Weyl定理，局部凸拓撲向量空間及李群表示，光滑表示及傅裏葉級數的收斂性。

(3)、代數群：
a、代數群的定義，嵌入定理，交換代數群，一維交換代數群的分類。
b、求導，微分形式模，切空間（映射），光滑性，代數群的李代數，Lang定理。
c、Chevalley定理，Zariski主定理，齊性空間，拋物子群和Borel子群，Borel不動點定理，
d、簡約代數群，秩等於一的半單代數群，根子群，Bruhat分解定理，Grassmann流型的幾何，簡約代數群的構造和分類，Tits群。

參考文獻
[1] A. Borel, Linear algebraic groups, Second edition, Graduate
Texts in Mathematics 126, Springer-Verlag, New York, 1991.
[2] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and
Representation Theory, Springer-Verlag New York Inc., 1972.
[3] J.E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in
Mathematics 21, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.
[4] T. Springer, Linear algebraic groups, Second edition, Progress
in Math.9, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA 1998
[5]W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Graduate Texts
in Mathematics 129, Springer-Verlag, New York, 1991.
[6] X. Xu, Representations of Lie Algebras and Partial Differential
Equations, Springer, Singapore, 2017.

微分拓撲

課程編碼：011M5002Y 課時：40 學分：2.00 課程屬性：專業普及課 主講教師：蘇陽

教學目的要求
本課程的目的是讓學生掌握微分流形的基本拓撲概念和性質，進一步的要求是領會利用分析的方法研究流形拓撲性質的思想和技術。

預修課程
點集拓撲，微分流形初步

教材
Guillenmin & Pollack, Differential Topology

主要內容
1-2 微分流形的基本概念與例子（重點）；
3-4 浸入，嵌入，橫截性；
5-6，Sard定理，Morse函數與Morse理論簡介；
7-8，Whitney浸入與嵌入定理（難點）；
9-10，相交理論；
11-12，環繞數，應用：Jordan-Brouwer分離定理；
13-14，Borsuk-Ulam定理；
15-16，流形的定向，定向相交數；
17-18，Lefschetz不動點定理；
19-20，向量場，向量場的指標（重點）；
21-22，Poincare-Hopf定理（難點）；
23-24，Hopf映射度定理；
25-26，Euler示性數與三角剖分；
27-28，外代數與微分形式；
29-30，流形上的積分；
31-32，外微分與微分形式（重點）；
33-34，微分形式與DeRhan上同調（難點）；
35-36，Stokes定理（重點）；
37-38，積分與映射度；
39-40，Gauss-Bonnet定理（難點）。

參考文獻
J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint （中文版：微分觀點看拓撲）
M. Hirsch, Differential Topology
張築生，微分拓撲講義

數值線性代數

課程編碼：011M4008H 課時：40 學分：2.00 課程屬性：專業核心課 主講教師：黃記祖

教學目的要求
本課程為計算數學專業碩士研究生的專業核心課，同時可做為數學學科其他專業及物理、力學、化學等專業研究生的選修課。本課程的主要內容包括：1. 線性代數方程組的直接解法與叠代法；2. 最小二乘問題的數值方法；3. 特征值問題的計算方法。
通過本課程的學習，希望學生掌握數值線性代數的基本內容和基本方法，對矩陣計算的最新動態有初步了解，能運用所學方法上機實算，為今後從事科研工作打下基礎。

預修課程
數學分析或高等數學、線性代數、泛函分析初步

教材
1. 徐樹方，《矩陣計算的理論與方法》，北京大學出版社，北京，1995。
2. G．H．戈盧布，C. F. 範洛恩 (袁亞湘等譯)，《矩陣計算》，科學出版社，北京，2001。

主要內容
第一章 矩陣代數基礎
向量範數和矩陣範數；（1學時）
Schur 分解和奇異值分解；（2學時，教學重點和難點）
子空間距離；（1學時）
Perron-Frobenius 定理；(2學時，教學重點和難點）
Bauer-Fike 定理；Hoffman-Wielandt 定理；Hermite 矩陣的極大極小定理；（2學時，教學重點和難點）
病態問題和算法數值穩定性；（1學時，教師指導下的討論）
Householder 變換；Givens 變換；Gauss 變換。（1學時）

第二章 線性方程組的直接解法
Gauss 消去法；Cholesky 分解；LTL分解；（3學時）
特殊矩陣解法。（3學時，教學重點和難點）

第三章 線性代數方程組的叠代解法
基本叠代法及其收斂性；（2學時）
H 矩陣與叠代收斂性；（2學時，教學重點和難點）
Chebyshev 半加速法；共軛梯度法；（2學時，教學重點和難點）
不完全LU分解；不完全Cholesky 分解；（2學時）
多重網格法和區域分解法簡介。（1學時）

第四章 最小二乘問題的數值解法
正規化方法與正交化方法；（2學時，教學重點和難點）
列主元 QR 分解。（1學時）

第五章 求解特征值問題的 QR 方法
乘冪法；子空間叠代法；（2學時，教學重點和難點）
雙重步位移的QR法；（2學時，教學重點和難點）
對稱QR算法；三對角方法；（2學時，教學重點和難點）
Jacobi 方法；SVD 的計算；（1學時）
廣義特征值的QZ方法。（1學時）

第六章 Lanczos 方法
Lanczos 叠代及其基本性質；K-P-S 理論；（2學時，教學重點和難點）
Lanczos 算法；Arnoldi 方法；GMRES方法。（2學時，教學重點和難點）

參考文獻
1. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Vol.1-2, Posts and Telecom Press, 2005.
2.Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, Science Press, 2009.
3．G.W. Stewart, Matrix Algorithms, Vol. I-II, SIAM Philadelphia, 1998.

最優化計算方法

課程編碼：011M1011H 課時：40 學分：2.00 課程屬性：一級學科核心課 主講教師：王曉

教學目的要求
本課程是計算數學和應用數學專業碩士研究生的學科基礎課。本課程深入淺出地介紹最優化基本理論和方法，論述無約束最優化和約束最優化的最優性條件、計算方法以及各類算法的收斂性質。本課程還介紹部分特殊形式的優化問題和特殊處理方法。
希望學生通過本課程學習，對優化的理論和方法有較為全面的了解，初步掌握優化主要算法的用法和基本技巧

預修課程
數學分析、線性代數

教材
袁亞湘 著， 《非線性優化計算方法》 ，科學出版社，2008.

主要內容
第一章 引論
1 數學基礎
2最優性條件及方法概述（重點）
第二章 一維優化及線搜索
3 牛頓法與割線法
4 精確線搜索方法
5-6 非精確線搜索方法（兩個學時，重點、難點）
第三章 信賴域方法
7 算法框架與收斂性
8 信賴域子問題求解
第四章 梯度法與共軛梯度法
9 最速下降法
10 BB方法（重點）
11 共軛梯度法的導出（重點）
12 共軛梯度法的性質（難點）
13 非線性共軛梯度法（重點）
第五章 擬牛頓方法
14 牛頓法
15 擬牛頓法的導出（重點）
16 擬牛頓法的性質（難點）
17 有限內存BFGS方法
第六章 無導數方法
18 坐標輪換方法
19 模式搜索方法
第七章 非線性方程組與非線性最小二乘問題
20 Gauss-Newton方法（重點）
21 Levenberg-Marquardt方法（重點）
第八章 非線性約束優化問題
22 問題描述
23 最優性條件（重點、難點）
第九章 罰函數方法
24 非精確罰函數
25 精確罰函數（難點）
第十章 二次規劃
26 最優性條件與對偶理論（重點、難點）
27 消去法
28 積極集方法
29 內點法
第十一章 可行方向法
30 消去法
31投影梯度法
第十二章 逐步二次規劃方法
32 Lagrange-Newton方法（重點）
33 SQP方法算法框架（重點）
34 SQP方法超線性收斂性
35 SQP方法 Maratos 效應
36信賴域SQP方法（難點）
第十三章 filter方法
37 filter方法簡述
第十四章 內點法
38 內點法概述
第十五章 內容選講
39 矩陣優化
40 稀疏優化

參考文獻
1. Jorge Nocedal, Stephen J. Wright, 《Numerical Optimization》, Springer, 2006.
2. 袁亞湘、孫文瑜 著， 《最優化理論與方法》 ，科學出版社，1997.

高等數理統計

課程編碼：011M1013H 課時：60 學分：3.00 課程屬性：一級學科核心課 主講教師：張三國

教學目的要求
本課程為概率論與數理統計專業碩士、博士研究生的學科基礎課，也可作為數學學科各專業，以及其他理科各專業研究生的選修課。統計學內容十分豐富，主要系統的講授數理統計基礎性的概念、方法、理論和計算，為今後學習統計學的各個分支、從事專業研究以及應用統計學打下基礎。本課程主要內容為點估計、假設檢驗、置信區間、Bayes統計推斷。

預修課程
概率論與數理統計

教材

主要內容
第一章 預備知識
樣本空間與樣本分布族、指數分布族、Fisher信息量、統計量及其充分性、Neyman因子分解定理、極小充分統計量、完全統計量、秩序統計量及有關分布、Wald統計決策理論；估計的可容許性
第二章 點估計
矩估計、極大似然估計(MLEs)、無偏估計、一致方差最小無偏估計、 Rao-Blackwell 定理、Lehmann-Scheffe 定理、Cramer-Rao下界、點估計的大樣本性質、Delta方法、極大似然估計(MLEs)、Kullback-Leibler距離；一維MLEs漸近理論、Expected 和observed Fisher信息量、多維情形、MLEs數值計算、Newton-Raphson算法、Fisher scoring 算法、不完全數據和EM算法、漸近相對效率、Bayes方法簡介與Bayes估計、Stein現象與收縮估計、不變估計、Pitman估計
第三章 假設檢驗
檢驗函數、檢驗的水平與功效、Neyman-Pearson引理、一致最優檢驗(UMP檢驗)、單調似然比的UMP檢驗、一致最優無偏檢驗(UMPU檢驗)、指數族的UMPU檢驗、正態分布參數的UMPU檢驗、不變檢驗、檢驗的p值、似然比檢驗、Wald檢驗、Score檢驗、似然比檢驗、Wilks定理、Wald檢驗、Score檢驗、非參數檢驗；符號檢驗、置換檢驗、Wilcoxon秩檢驗、擬合優度檢驗、Kolmogorov-Smirnov檢驗、Cramer-von Mises檢驗
第四章 置信區間(區域)
置信區間及優良性、漸近置信區間(區域)、樞軸(Pivotal)方法、假設檢驗構造置信區間(區域)、Fiducial方法
第五章 Bayes統計與統計決策
Bayes方法、共軛和無信息先驗、多層Bayes、經驗Bayes、Bayes檢驗、Bayes HPD置信區間(區域)、Minimax估計

參考文獻
1. 茆師松、王靜龍、濮曉龍編著，《高等數理統計》，高等教育出版社，1998。
2. 陳希孺著，《數理統計引論》，科學出版社，1997。
3．E.L. Lehmann, G.. Casella Theory of Point Estimation, 2nd edition,1998。
4．E.L. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, 2nd edition,1986。
5．Jun Shao, Mathematical Statistics, 2nd Edition, Springer，2003.

數值分析

課程編碼：011M2001H 課時：40 學分：2.00 課程屬性：一級學科普及課 主講教師：王曉

教學目的要求
本課程為計算數學和應用數學專業碩士研究生的專業普及課，同時也可作為物理、力學、化學及工程科學等專業碩士研究生的選修課。本課程的主要內容包括：1. 基本概念；2. 線性方程組數值求解；3. 函數逼近；4．數值積分；5. 矩陣特征值數值計算；6.非線性方程數值求解；7.常微分方程數值解。 通過本課程的學習，希望學生掌握數值分析的基本內容和基本方法，能運用所學方法上機實算，為今後從事科學與工程計算打下基礎。

預修課程
微積分、線性代數、常微分方程

教材
1. J. Stoer, R. Bulirsch，Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition, Springer-Verlag, 1991.
2. 李慶揚、王能超、易大義，《數值分析》第四版，清華大學出版社，2001。

主要內容
第一章：基本概念（4學時）
浮點數運算與舍入誤差（1學時）；算法的復雜性、收斂性、穩定性(2學時)；問題的病態性（1學時）。
教學重點與難點：使學生了解計算機運算舍入誤差的來源，明確算法研究的主旨和基本問題。
第二章：線性方程組數值解（6學時）
直接法：全選主元和列選主元的Gauss消去法、Doolittle分解、追趕法、Cholesky分解（2學時）；
叠代法：Jacobi叠代、Gauss-Seidel叠代、SOR叠代、收斂性、收斂速度 （2學時）；
Krylov子空間方法：最速下降法、共軛梯度法（2學時）。
教學重點與難點：使學生了解三大類方法的基本思想、方法和聯系、區別，算法的復雜性、收斂性，會使用這些方法上機實算。
第三章：函數逼近（6學時）
Lagrange、Newton、Hermite 插值，分段線性、Hermite保形插值、三次樣條插值（2.5學時）；
最小二乘曲線擬合（1.5學時）；正交多項式與函數最佳平方逼近（2學時）。
教學重點與難點：使學生了解函數的離散與連續逼近的基本思想、方法及相互聯系，算法的數值特性，會利用方法進行相應的數據處理或模型擬合、函數逼近。
第四章：數值積分（6學時）
Newton-Cotes型求積公式（1.5學時）；復化求積公式（1學時）；Romberg求積公式（1.5學時）；Gauss型求積公式（2學時）。
教學重點與難點：講清各種求積公式的原理、方法和聯系，及其收斂性、穩定性。
第五章：非線性方程和方程組求解（6學時）
不動點和不動點叠代、Newton叠代、收斂性、收斂階（3學時）；
叠代加速：Aitken加速、Steffensen叠代（1學時）；
割線法與Mueller法（1學時）；非線性方程組的Newton叠代法（1學時）。
教學重點與難點：叠代法及其加速的原理，收斂階的判斷和改進。
第六章：常微分方程數值解（7學時）
單步法：Euler法、梯形法、預估校正法、局部、整體截斷誤差、收斂階（2.5學時）；Runge-Kutta法、相容性、穩定性、絕對穩定域（2.5學時）；
線性多步法：基本概念、Adams法、待定系數法、預估校正法 （2學時）。
教學重點與難點：算法構造的思想、相容性、收斂階、穩定域的判斷。
第七章：特征值的計算方法（5學時）
乘冪法與反冪法（1.5學時）；Householder變換、Givens變換（1.5學時）；QR算法（2學時）
教學重點與難點：講清算法的原理。

參考文獻
1. H. R. Schwarz，Numerical Analysis， A Comprehensive Introduction: With a Contribution by J. Waldvogel， Chichester: Wiley，1989.
2. 蔡大用，白峰杉，《高等數值分析》，清華大學出版社，1997。
3. 白峰杉，《數值計算引論》，高等教育出版社，2004。
4. Michael T. Heath, Scientific Computing, An Introductory Survey, 2nd Edition, McGraw-Hill Companies, Inc. 2002.

代數拓撲Ⅰ

課程編碼：011M1007Y 課時：60 學分：3.00 課程屬性：一級學科核心課 主講教師：余建明

教學目的要求
本課程為基礎數學中幾何與拓撲專業研究生的學科必修課，同時也可作為相關專業研究生的選修課。拓撲學與代數學、分析學共同組成了現代數學的三大支柱。 拓撲學的結果與方法影響到各門數學分支，在物理學、計算機科學、經濟學等許多自然科學與社會科學領域中也有著廣泛的應用。
代數拓撲學的目的是提供研究拓撲問題的代數方法，包括各種代數不變量的構造與計算方法。本課程要介紹的不變量為基本群、同調群、上同調群與上同調環，核心內容為它們的定義與計算方法。希望通過本課程的學習，學生能掌握它們的定義與基本性質，對代數拓撲的問題及解決方法有初步了解，為進一步學習現代數學及從事各種專業研究打下基礎。

預修課程
抽象代數、點集拓撲

教材

主要內容
1）基本群與覆蓋空間（教學重點，8學時）；
2）Seifert-van Kampen 定理（4學時）；
3）曲面的分類（教學重點，6學時）；
4）覆蓋空間的分類（2學時）；
5）奇異同調群的定義及性質（教學重點，10學時）；
6）球面同調群及其應用（2學時）；
7）射影空間的同調群（2學時）；
8）同調代數基礎（教學重點，4學時）；
9）一般系數同調群（2學時）；
10）萬有系數定理（2學時）；
11）Künneth 定理（2學時）；
12）奇異上同調（教學重點，6學時）；
13）杯積與上同調代數（3學時）；
14）帽積與Poincarè 對偶定理（3學時）；
15） Borsuk-Ulam 定理及其應用（4學時）。

參考文獻
1.J.R.Munkres : Topology 2nd ed, 2000
2.J.W.Vick: Homology Theory, 2nd ed, GTM 145,1994

微分流形

課程編碼：011M1003Y 課時：60 學分：3.00 課程屬性：一級學科核心課 主講教師：吳英毅

教學目的要求
本課程為數學學科各專業博士、碩士研究生的學科基礎課。同時也可作為物理學、力學等專業研究生的選修課。微分流形己成為現代數學研究的基本對象。本課程講授微分流形與李群的基本知識。通過本課程的學習，希望學生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。為進一步學習微分幾何、微分拓撲、幾何分析等相關課程打下堅實基礎。

預修課程
多元微積分，點集拓撲

教材

主要內容
“*”表示重點和難點
第一章 微分流形的基本概念（9學時）
*第一節 微分流形的定義及例子（3學時）
第二節 光滑函數、光滑映射和映射的秩（2學時）
第三節 反函數定理和隱函數定理（1學時）
*第四節 浸入與淹沒、子流形（3學時）
第二章 流形上的向量場（10學時）
第一節 流形上一點處的切空間，切映射（2學時）
第二節 向量場，光滑向量場和光滑向量場的李括號（2學時）
*第三節 光滑分布、對合分布、可積性與Frobenius定理（6學時）
第三章 張量代數（9學時）
第一節 向量空間、對偶空間與張量代數（2學時）
第二節 對稱與反稱張量（2學時）
第三節 單位分解定理（1學時）
第四節 張量場與Riemann度量（2學時）
第五節 外代數（2學時）
第四章 外微分形式（8學時）
第一節 余切空間與線性微分式（1學時）
*第二節 外微分與外形式（4學時）
*第三節 外微分形式的Frobenius定理（3學時）
第五章 流形上的積分與Stokes定理（14學時）
第一節 流形的定向（2學時）
第二節 外微分形式的積分（3學時）
*第三節 帶邊流形與誘導定向（4學時）
*第四節 Stokes定理（2學時）
*第五節 Stokes定理的應用（3學時）
第六章 李群簡介（10學時）
第一節 李群的定義及例子（2學時）
第二節 李群上的左不變向量場，李群的李代數（2學時）
第三節 李群同態，單參數子群，指數映射（3學時）
第四節 李子群定理，閉子群定理（3學時）

參考文獻
1. Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94，Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983。
2. 陳省身、陳維桓著，《微分幾何講義》，北京大學出版社，北京，1983。
3. 白正國，沈一兵等，《黎曼幾何初步（修訂版）》，高等教育出版社，北京，2004。
4. William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry（英文版.第二版修訂版）, 人民郵電出版社，北京，2007。

代數學Ⅰ

課程編碼：011M1002Y 課時：60 學分：3.00 課程屬性：一級學科核心課 主講教師：胡永泉

教學目的要求
本課程是基礎數學碩士生的代數系列課程之一，目的是為基礎數學方向的研究生及其它需要較多代數知識的專業提供紮實的代數學基礎。其它方向的學生也可通過此課程獲得現代代數學的訓練、常識或修養。內容包括Galois理論、模論、環論和有限群的表示理論。

預修課程
高等數學、線性代數、點集拓撲、抽象代數基礎（主要是群論、環論、域論基礎）

教材
教師自編講義

主要內容
第一章 Galois理論 — 基本定理和應用， 有限域擴張的Galois理論， 超越擴張和Noether正規化定理等，*Kummer擴張，*無限Galois理論。約12課時。
第二章 模論 — Artin模， Noether模，合成列、Krull-Schmidt定理， 張量積及例子，雙模，代數和余代數，半單模的稠密定理。約16課時。
第三章 環論 — 本原與半本原性及Jacobson根， 半本原Artin環的結構理論， Burnside定理， 有限維中心單代數（同態的擴張，中心化定理）， *單環的Wedderburn-Artin定理， *Brauer群, *Clifford代數。約16課時。
第四章 有限群的表示理論 — 完全可約性，特征標，正交關系，誘導和限制表示及Frobenius互反定理，Brauer定理等。約16課時。（標*者為選講內容，時間不夠則不講）

教學重點與難點：Galois理論及其實例、模與代數的張量積、中心單代數的結構、有限群表示論的Brauer定理。

參考文獻
1.Nathan Jacobson, Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1985. xviii+499 pp. ISBN: 0-7167-1480-9
2.Nathan Jacobson, Basic algebra. II. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1989. xviii+686 pp. ISBN: 0-7167-1933-9
3.T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN: 0-387-95183-0
4.Serge Lang, Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002. xvi+914 pp. ISBN: 0-387-95385-X
5.Jean-Pierre Serre, 郝鈵新 (譯者), 有限群的線性表示. 數學翻譯叢書. 北京：高等教育出版社, 2007. ISBN: 978-7-04-022040-7

代數數論I、II

課程編碼：011D9103Z﹡ 課時：80 學分：4.00 課程屬性：其它 主講教師：田野

教學目的要求

預修課程

教材

主要內容
(一)、代數數論基礎(64學時)
(1)、 數域及代數整數環，二次數域及分圓域，Dedekind整環及其擴張，素理想分解。(16學時)
(2)、類群及單位群 (有限性定理), 二元二次型。(8學時)
(3)、Riemann Zeta函數，Dirichlet L-函數、Dedekind
Zeta函數及類數公式， 及算術應用。(16學時)
(4)、局部域、離散賦值環，局部方法。(14學時)
(5) Adele環，Idele群及類群， Hecke L-函數，類域論初步。(10學時)

(二)、代數數論選講(16學時，有如下選項)
(1)、Tate’s Thesis。
(2)、類域論。
(3)、分圓單位的Euler系。

參考文獻
[1] S. Lang：Algebraic Number Theory , Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York-Heidelberg,1994.
[2] J. Cassels and A. Frohlich：Algebraic Number Theory,Proceedings of the Brighton Conference, Academic Press, New York,1968.
[3] J. Neukirch：Algebraic Number Theory, Springer, Heidelberg,2013.
[4] E. Artin and j. Tate：Class Field Theory, Benjamin, New York,1967.
[5] A. Weil：Basic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1968.
[6] L. Washington: Introduction to cyclotomic fields, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 83, Springer-Verlag, New York, 1997.
[7]S. Lang: {\it Cyclotomic Fields I and II}, Combined Second Edition,Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1990.

代數幾何I、II

課程編碼：011D9102Z﹡ 課時：80 學分：4.00 課程屬性：其它 主講教師：付保華

教學目的要求

預修課程

教材

主要內容
(一）、 代數簇 （40 學時）
(1)、 層論與環空間(ringed space)。
(2)、 仿射代數簇，正則函數，態射，範疇等價， 零點定理。
(3)、 射影代數簇，有理函數，態射， properness。
(4)、 一般代數簇，態射，乘積。
(5)、 切空間，光滑性，維數。
(6)、 有限態射，Bertini定理。

(二）、 層的上同調 (20 學時)
(1)、 導函子。
(2)、 形式de Rham定理。
(3)、 仿射代數簇的上同調。
(4)、 Cech上同調。
(5)、 Serre基本定理。
(6)、 Serre對偶。

(三)、 Riemann-Roch公式 （20 學時）
(1)、 因子與線叢, Picard群。
(2)、 線叢的度與Riemann-Roch公式。
(3)、 向量叢。
(4)、 向量叢的Riemann-Roch公式。

參考文獻
[1] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in
Mathematics 52, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
[2]J.Le Potier, Geometrie Algebrique, Lecture Notes.
[3]I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, I、 II, Springer,
Heidelberg, 2013.

2018年秋季學期課表