TYVJ 2054 [Nescafé29]四葉草魔杖 最小生成樹 狀態壓縮/背包DP
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[Nescafé29]四葉草魔杖
題目限制
| 時間限制 | 內存限制 | 評測方式 | 題目來源 |
|---|---|---|---|
| 1000ms | 131072KiB | 標準比較器 | Local |
題目背景
陶醉在彩虹光芒籠罩的美景之中，探險隊員們不知不覺已經穿過了七色虹，
到達了目的地，面前出現了一座城堡和小溪田園，城堡前的木牌上寫著“Poetic Island”。
“這一定就是另外兩位護法的所在地了……我們快進去吧！”
探險隊員們快步進入了城堡，城堡大廳的羊毛沙發上坐著兩個人。
“你們是Nescafe的護法吧？”
“是的哦~ 我們就是聖劍護法rainbow和魔杖護法freda~ 你們來這裏做什麽呢~”
“我們是來拜訪聖主和四位護法的……”
“可是聖主applepi已經前往超自然之界的學校（Preternatural Kingdom University，簡稱PKU）修煉魔法了，
要想見到他，必須開啟Nescafe之塔與超自然之界的通道。但是聖主規定，開啟通道的方法不能告訴任何外人。
我只能提示你們，開啟通道的鑰匙就與四位護法有關T_T”
探險隊員環視四周，突然，其中一人的目光停留在了魔杖之上。
“hoho~ 魔杖！傳說中開啟異時空通道的鑰匙不就叫四葉草魔杖嗎？
四葉草有力量、信心、希望和幸運四片葉子，護法恰好有神刀、飛箭、聖劍、魔杖四位！aha~我找到答案了！”
“好吧，那我們就滿足你們的願望~”
題目描述
魔杖護法Freda融合了四件武器，於是魔杖頂端緩緩地生出了一棵四葉草，四片葉子幻發著淡淡的七色光。
聖劍護法rainbow取出了一個圓盤，圓盤上鑲嵌著 $ N $ 顆寶石，編號為 $ 0~N-1 $ 。
第i顆寶石的能量是 $ A_i $ 。
如果 $ A_i>0 $ ，表示這顆寶石能量過高，需要把Ai的能量傳給其它寶石；
如果 $ A_i<0 $ ，表示這顆寶石的能量過低，需要從其它寶石處獲取 $ -A_i $ 的能量。
保證 $ ∑A_i =0 $ 。只有當所有寶石的能量均相同時，把四葉草魔杖插入圓盤中央，才能開啟超自然之界的通道。
不過，只有 $ M $ 對寶石之間可以互相傳遞能量，其中第 $ i $ 對寶石之間無論傳遞多少能量，都要花費 $ T_i $ 的代價。
輸入格式
第一行兩個整數 $ N、M $ 。
第二行 $ N $ 個整數 $ A_i $ 。
接下來 $ M $ 行每行三個整數 $ p_i,q_i,T_i $ ，表示在編號為 $ p_i $ 和 $ q_i $ 的寶石之間傳遞能量需要花費 $ T_i $ 的代價。
數據保證每對 $ p_i、q_i $ 最多出現一次。
輸出格式
輸出一個整數表示答案。無解輸出Impossible。
提示
對於 $ 50 $ % 的數據，$ 2 \le N \le 8 $ 。
對於 $ 100 $ % 的數據，$ 2 \le N \le 16，0 \le M \le N*(N-1)/2，0 \le p_i,q_i<N，-1000 \le A_i \le 1000，0 \le T_i \le 1000，∑A_i=0 $ 。
樣例數據
輸入樣例
3 3
50 -20 -30
0 1 10
1 2 20
0 2 100輸出樣例
30
題解
每個 $ \sum A_i =0 $ 的子圖內傳遞能量的最小代價是其最小生成樹
最終整個圖可能分成若幹塊 $ \sum a_i =0 $ 的子圖分別傳遞
以 $ \sum a_i =0 $ 的子圖為物品做二進制集合背包的狀態壓縮 $ DP $
代碼
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define inf 1000000007
struct edge{ int u,v,w; }e[205];
int n,m,a[20],f[1<<20],g[1<<20],fa[20],tot;
bool vis[20];
bool cmp(edge x,edge y){ return x.w<y.w; }
int calc(int x){
int res=0;
for(int i=1;i<=n;++i) if(x&(1<<i-1)) res+=a[i];
return res;
}
int find(int x){
if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
int kruskal(int x){
int num=0,res=0,tmp=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;++i){
fa[i]=i;
if(x&(1<<(i-1))) vis[i]=1,++num;
}
for(int fu,fv,i=1;i<=m;++i){
if(!vis[e[i].u]||!vis[e[i].v]) continue;
fu=find(e[i].u); fv=find(e[i].v);
if(fu==fv) continue;
fa[fu]=fv;
res+=e[i].w;
++tmp; if(tot==num-1) break;
}
if(tmp!=num-1) return inf;
return res;
}
int main(){
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d %d %d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
++e[i].u; ++e[i].v;
}
sort(e+1,e+1+m,cmp);
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[0]=0;
for(int i=1;i<=(1<<n)-1;++i)
if(calc(i)==0){
int tmp=kruskal(i);
if(tmp!=inf) g[++tot]=i; f[i]=tmp;
}
for(int i=0;i<=(1<<n)-1;++i)
for(int j=1;j<=tot;++j)
if((i&g[j])==0) f[i|g[j]]=min(f[i|g[j]],f[i]+f[g[j]]);
if(f[(1<<n)-1]==inf) puts("Impossible");
else printf("%d",f[(1<<n)-1]);
return 0;
}TYVJ 2054 [Nescafé29]四葉草魔杖 最小生成樹 狀態壓縮/背包DP