前面已經介紹了矩陣的零空間和列空間，它們都屬於矩陣的四個基本子空間，基本子空間還包括行空間和左零空間。

　　召喚一個矩陣：

　　為了找出零空間和列空間，先進行套路運算——轉換為行最簡階梯矩陣：

　　三個主元，所以三個列向量都是獨立向量，列空間是：

　　這同時也意味著矩陣A的秩是3。矩陣的秩、列空間的基的向量數、獨立向量數、主元數，這些都是一個意思，只是用於不同場景中，這些概念往往容易讓人混淆。實際上直到今天，我仍然會對一些概念產生一瞬間或幾分鐘的困惑，不得不重新翻閱資料。

　　再來看零空間，雖然沒有自由元，但三個主元中的任意一個都可以用另外兩個表示，這裏用x₂和x₃表示x₁：

　　A的零空間：

左零空間

　　零空間關註的是Ax = 0的解，除此之外，我們還想關註轉置後的A形成的方程的性質，也就是A^Tx = 0的解。還是剛才的矩陣，看看A轉置後的零空間：

　　套路運算，行最簡階梯型矩陣：

　　第二列可以用第一列表示，第二列是第一列的線性組合，只有一個獨立向量，只有一個主元，秩是1……一大堆相似概念，最終可以得到這樣的方程：

　　A^T的零空間：

　　獨立地看，A^T的零空間是A^Tx = O的解，這又有什麽用呢？它與Ax = O有什麽關系？

　　如果把等式兩邊同時轉置，右側依然是趴下的零向量，左側：

　　這下清晰了，A的零空間是將A右乘x；如果左乘x就是A^T的零空間：

　　由於x在A的左側，所以A^T的零空間也叫A的左零空間。

行空間

　　A的行空間也就是A^T的列空間，A的秩是在回答A中有多少列是線性無關的，A^T是在回答A中有多少行是線性無關的。有趣的是，A的秩和A^T的秩相等。理解這裏一點很有用，尤其是在確定列空間的基時，輔助行空間可以幫助我們避免一些陷阱，比如下面這個矩陣：

　　三列是否是線性無關的？如果最有一個列向量是<3, 3, 7>，那麽很明顯第三個向量可以由前兩個向量代替，現在第三個向量稍稍偏移了一點，所以三個向量應該是線性無關的。真是這樣嗎？

　　實際上我們不必去計算，A的列向量之間的關系沒那麽明顯，但是行向量則不然——前兩個行向量相同，A中只有兩個線性無關的行向量，也就是A的秩是2，所以A的列向量也不是獨立向量。

空間和維數

　　前面已經多次出現過維度的概念，如果有一個A_m×n矩陣，它的四個基本子空間的維數各是多少呢？

　　只要清楚四個基本子空間的概念，這個問題就比較容易回答。列空間的一組基一定包含A的一個列向量，這個列向量是m維的，所以列空間一定在R^m中；同理，行空間在Rⁿ中。具體來說，由於秩是r，所以列空間是R^m中的r維子空間，行空間是Rⁿ中的r維子空間。

　　零空間是Ax = 0中x的解，x是n維向量，所以零空間在Rⁿ中；同理，左零空間在R^m中。零空間的維數是由自由元決定的，自由元等於矩陣列數減去主元個數，也就是n – r，所以零空間是n維空間內的n – r維子空間。左零空間是m維空間內的m – r維子空間。

　　總結一下：

　　列空間，位於R^m下的r維空間

　　行空間，位於Rⁿ下的r維空間

　　零空間，位於Rⁿ下的 n – r維空間

　　左零空間，位於R^m下的 m – r維子空間

行空間的基

　　可以先對矩陣轉置，在通過列空間的方式尋找行空間的基。這樣做沒錯，但多少有些無聊，我們更希望一次就能同時找到列空間和行空間的基。看個例子：

　　A的列空間和行空間都比較容易確定，甚至不需要化簡：

　　雖然列空間和行空間的獨立向量個數相等，但列空間和行空間可不行等，所以還是需要某種通用的方法。仍然是先將A化簡為行最簡階梯形矩陣：

　　R是A的行最簡階梯矩陣，通過R可以確認A的秩r = 2。下面是關鍵：對於A來說，行空間的基是R的前r行，即：

　　之所以能夠得到這樣的結論，是因為從A到R的變換本來就是通過行的線性變換得到的，變換到最後，R中只留下了線性無關的行向量。這實際是在說，R是最簡行階梯矩陣，R中的每一級階梯都是線性無關的。

左零空間的基

　　召喚一個矩陣：

　　直接的方法是使用左零空間的定義，將A轉置，然後求解A^T的零空間：

　　這和求解零空間一樣，化簡為行最簡階梯形矩陣：

　　這就是A的左零空間。這樣計算簡單粗暴。

　　另外一種方法是使用高斯-諾當消元法，通過記錄行變換的方式找到左零空間。這種方法的大概思路是和求逆矩陣類似，其過程是使[A_m×n I_m×m]→[R_m×n E_m×m]，如果A是方陣，R是單位矩陣，則轉化過程和求逆一致。

　　E實際上是記錄了從A到R的初等行變換，EA = R。如果用《線性代數9——消元矩陣與置換矩陣》中的方法寫出來，其過程如下：

　　最終的消元矩陣：

　　費了很大勁求出E，目的是為了得到A的左零空間，R的最後一行是O^T，也就是說E的最後一行與A的乘積是O^T：

　　這相當於：

　　現在可以確定，A的左零空間是：

　　這個方法的思路是尋找一個零行向量O^T的行組合。

作者：我是8位的

出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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線性代數筆記14——行空間和左零空間