行列式

　　如果有兩個向量<a₁, a₂>和<b₁, b₂>，那麽這兩個向量組成的行列式是：

　　看起來只是表示一個簡單的計算，僅僅計算了一個數值，但是別忘了，行列式是由向量組成的，它一定會表示向量間的某種關系。

　　在《線性代數筆記4——向量3（叉積）》中我們看到，二階行列式表示了二維平面中以兩個向量為臨邊的平行四邊形的面積；三階行列式表示在三維空間中以三個向量為臨邊的平行六面體的體積；推廣到n維空間，n階行列式表示在n維空間中圖形的n維體積。實際上我們無法有效表示出三維以上的空間。對於物理世界中更多維的空間，絕大多數人都無法想象，但是數學卻可以給出明確的定義。

　　對於n維空間的行列式，可以表示為：

D_n = |A_n×n|

　　其中A是一個n×n的矩陣。

　　行列式是由向量引出的，解釋的也是向量的性質，在看到行列式時一定要在頭腦中映射出向量，實際上線性代數的本質就是對向量的研究。

行列式的性質

　　性質0，單位矩陣的行列式為1

　　這個不解釋。

　　性質1，如果D_n= |A|中某行的元素全為0，那麽D_n = 0

　　這個性質較為明顯，在多維空間中，行列式表示的是體積，如果其中一個維度的模為0，那麽體積也是0。

　　性質2，如果D_n= |A|中某兩行元素對應成比例，那麽D_n = 0

　　很多時候我們都喜歡用實例推導性質，像下邊這樣：

　　或者用代數形式：

　　但是性質應當由定義推導，然後用計算去驗證，而不是用計算去推導。現在我們嘗試用行列式的定義去推導。行列式表示的是向量間的關系，以二維空間為例，如果某兩行元素對應成比例，那麽說明一種一個向量是另一個向量的延伸，它們的夾角是0°或180°，即二者平行，兩個平行的向量圍成的面積是0：

　　性質3，如果D_n= |A|中某兩行元素互換，那麽互換後的行列式變號，即|A|= -|A|

　　兩個向量的模長是a和b，與x軸的夾角分別是α和β，如下圖所示：

　　平行四邊形的面積：

　　如果兩個向量互換：

　　在代數學中，角度、面積、體積可以是負的。用計算去驗證：

　　性質4，倍乘性質

　　實際上是將外部的k乘到其中的一行，把平行四邊形的一條邊擴大k倍，則面積也擴大了k倍，如下圖所示：

　　需要註意的是行列式與矩陣的區別，矩陣擴大k倍是將矩陣中的全部元素都乘以k（矩陣中的每個元素都對應了一個向量的分量，這在下文關於矩陣的介紹中會有所說明），這將有下面的關系：

　　性質5，倍加性質

　　對於更高階的行列式也一樣。下圖平行四邊形的斜邊展示了一個向量加上另一個向量的k倍：

　　兩個平行四邊形的面積是相同的，所以倍加公式成立。

性質6，單行可拆（加）性

　　其中*號表元素完全相同，從左到右叫加，從右到左叫拆。以二階行列式為例：

　　為了簡單，將<b₁,b₂>和<a_1,a₂>分別設置在兩個坐標軸上，如下圖示：

　　<a_1,a₂><b₁,b₂>所圍平行四邊形面積是a₂ b₂，<a_1,a₂><c₁,c₂>所圍平行四邊形面積是a₂ c₂，<a_1,a₂>< b₁+c₁, b₂+c₂>所圍平行四邊形面積是a₂(b₂+c₂)，由此可見性質6成立。

性質7，以上所有作用於行的性質也可以作用於列上，即|A| = |A^T|

性質8，兩個矩陣相乘的行列式，等於這個兩個矩陣的行列式相乘，|AB| = |A||B|

　　當兩個矩陣相等時，矩陣平方的行列式等於矩陣行列式的平方：

　　可以借助性質8計算A-1的行列式：

　　如果1/|A|有意義，則|A| ≠ 0，A有逆矩陣；反之，如果|A| = 0，A是奇異矩陣。這就是性質9。

　　性質9，如果|A| = 0，A是奇異矩陣。

行列式的意義

　　行列式是由向量組成的，當D_n = |A| ≠ 0 時，意味著組成|A|的向量全部獨立。所謂獨立，就是向量圍成的n維空間中圖形的n維體積不為0。這似乎沒有太大價值，但是如果把行列式轉換為方程組就意義重大了，以二階行列式為例：

　　可以看到，對於全部獨立的向量，方程組有唯一解，否則方程組無解或有無數解。當|A| ≠ 0時，說明至少有一個向量是“多余”的，正是這個多余的向量使得n維體積為0。以階行列式為例，當體積為0時，說明三個向量在同一平面內，這意味著，一定可以通過倍乘和倍加性質用另外兩個向量表示第三個向量，從而完全消除第三個向量。N元一次方程組需要N個完全不同的等式，現在少了一個等式，所以無法得到唯一解。

　　線性代數研究的是向量之間的關系，向量間最重要的關系就是獨立或不獨立，行列式是否等於0正是這種關系的有效描述。

行列式的計算

　　上三角矩陣的行列式等於主對角元素的乘積：

　　對於更多階的行列式，一種有效的計算方法是先將其消元，轉換為上三角行列式，然後在計算這個上三角行列式的值。以二階行列式為例，我們已經知道它的結果：

　　利用消元法將A轉換為上三角矩陣：

　　現在可以直接利用主對角線的元素相乘：

行列式的公式

　　行列式的性質也可以用於計算行列式的值，以二階行列式為例：

　　在反復利用行列式的單行可拆性後，A分解成4項，每一行只有一個非零元素。二階行列式計計算的是圖形的面積，對於α來說，由於構成行列式的兩個向量<a, 0>和<c, 0>是在同一個維度上的直線，所以二者圍成的面積是0；同理，δ也一樣。

　　Β是上三角矩陣，它的值是主對角線的乘積ad。γ可以使用行列式的行互換性質形成一個新的上三角矩陣：

　　最終可以得到|A|的值：

　　這種方法對於更高階的行列式也同樣適用，三階行列式按照每一行只有一個非零元素的原則全部展開後將長達3³項，這將占用長長的篇幅，可以考慮一個能夠縮減展開式的辦法。根據行列式的幾何意義，行列式計算的是n維圖形在n維空間中的n維體積，3階行列式計算的自然是三維空間的體積，如此一來，只有三個向量分別指向三個不同維度時，才能保證體積不等於0，因此三階行列式可以展開成：

　　現在只剩下3! = 6項，每一項都可以通過行列式的行交換性質變成上三角行列式（或者本身就是上三角行列式），這樣就可以得到行列式的最終值：

　　現在可以歸納出n階行列式的公式：

　　下標的數字項表示行號，希臘字母表示列號（實際數量可能遠超過希臘字母的數量，暫且用希臘字母代替）。這相當於是列號的排列，在每一項中，n個列標都各用一次。負號的目的是為了應對行交換的情況。

　　根據公式，對於n階單位矩陣來說，只有主對角線的一項不是0，所以單位矩陣的行列式的值是1。

　　示例 計算A的行列式：

　　通過消元法計算是正確的選擇，通常也應該這麽做，實際上不難看出這個A是一個奇異矩陣，所以它的行列式等於0，現在用行列式的公式來驗證這個結論。根據公式， |A|的大多數展開項都等0，沒有被淘汰的只有兩項，二者相加等於0：

　　第一個行列式是負值，因為它需要用1、3行進行一次行交換來變成上三角矩陣：

代數余子式

　　代數余子式是從行列式的公式中提取出來的，它的作用是把n階行列式化簡為n – 1階行列式。我們以三階行列式為例，看看代數余子式是什麽。根據行列式的公式，3階行列式展開，將得到：

　　這實際上式選定第一行的一列，然後考慮各種可能的排列，為了突出重點，寫成下面這樣：

　　括號中由剩余因子組成的表達式就是代數余子式（第二項把符號移到了括號中，下節會說明原因），比如a₂₂a₂₃ – a₂₃a₃₂是a₁₁的代數余子式。可以用更直觀的方式表達a₁₁(a₂₂a₂₃ – a₂₃a₃₂)：

代數余子式的符號

　　-a₁₂(a₂₂a₂₃ – a₂₃a₃₂)可以表示成：

　　註意到上式有一個負號，我們一般不需要 -a₁₂的代數余子式，所以a₁₂的代數余子式需要把符號移到括號中：

　　代數余子式本身就是行列式，只是它的正負號需要單獨判斷，判斷方法是根據選定元素行號和列號之和的奇偶性。用C_ij表示a_ij的代數余子式，當i + j是偶數時，行列式取正號，是奇數則取符號。比如三階行列式中，C₁₂的行列號之和是3，它對應的代數余子式取符號。如果有一個五階行列式，它的每一項的代數余子式的符號是這樣分布的：

行列式的代數余子式展開

　　把某個行列式的用代數余子式展開實際上也是求行列式的另一種方法，可以表示成：

　　代數余子式本身是n - 1階行列式，它可以繼續展開成n - 2階行列式……如此展開下去，直到1階行列式為止，其核心思想是把一個復雜的高階行列式轉換成多個簡單的低階行列式。

二階行列式的代數余子式

　　用代數余子式可以解釋二階行列式的計算公式。二階行列式可以用一階代數余子式展開：

　　由於b是第1行第2列，1 + 2 = 3是奇數，所以b對應的代數余子式C₁₂是以符號開頭的。

　　 作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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線性代數筆記20——行列式和代數余子式