Description

有$N$ 個 $1$ 和 $M$ 個 $0$ 組成的字符串， 滿足前 $k$ 個字符中 $1$ 的個數不少於 $0$ 的個數。

求這樣字符串的個數。

$1<=M <=N<=1e6$

Solution

正難則反， 很難直接求出滿足條件的字符串的個數， 就從反面考慮。

$N$個$1$ 和 $M$ 個 $0$ 組成的字符串總共有 $C(N + M, N)$ 個， 再減去不滿足條件的 字符串的個數就能夠得到答案了。

不滿足條件的字符串個數為$C(N+M,N+1)$

證明與 卡特蘭數的證明類似：

設一個 不滿足條件的字符串 $0$ 的個數 比 $1$ 多 的 位置為 $k$。

並且 對於任意 $j <k$， 前$j$個字符中$num_1>=num_0$， 而前$k$個字符$num_1<num_0$。

很顯然 $num_0=num_1+1$， 我們將這個 $k$ 個字符都取反， $0$ 變成 $1$， $1$ 變成 $0$。

$0$ 的個數減少 $1$ 個， $1$ 的個數 增加 $1$個，

那麽取反後的字符串 中 $1$ 的個數為 $N+1$， $0$ 的個數為 $M-1$。

由於 $N+1$個$1$ ，$M-1$個$0$ 組成的字符串恰好有$C(N+M,N+1)$個。

所以我們接下來要證明 它們是 一 一對應的，（即$(N,M)$中不滿足條件的字符串通過轉換能 對應上 $(N+1, M-1)$ 每種

　　現在已知 $(N,M)$ 能通過轉換變成 $(N+1,M-1)$ 且沒有重復。

　　只需證明$(N+1,M-1)$ 通過轉換 變成 $(N,M)$ ： 找到第一個 $1$ 比 $0$ 多的位置 $k$ 並把前 $k$ 個字符取反 即可。

證畢

最後答案就是 $C(N+M,N)-C(N+M,N+1)$。

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define ll long long
 5 using namespace
 
 std;
 6 
 7 const int mod = 20100403;
 8 const int N = 2e6 + 5;
 9 
10 ll fpow(ll a, ll b) {
11     ll re = 1;
12     for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
13         if (b & 1) re = re * a % mod;
14     return re;
15 }
16 
17 ll fac[N], ans;
18 
19 int main()
20 {
21     int n, m, M;
22     scanf("%d%d", &n, &m);
23     M = n + m;
24     fac[0] = fac[1] = 1;
25     for (int i = 1; i <= M; ++i)
26         fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
27     ans = fac[M] * fpow(fac[n], mod - 2) % mod;
28     ans = ans * fpow(fac[m], mod - 2) % mod;
29     ll tmp = fac[M] * fpow(fac[n + 1], mod - 2) % mod;
30     tmp = tmp * fpow(fac[m - 1], mod - 2) % mod;
31     ans = ans - tmp;
32     ans = (ans % mod + mod) % mod;
33     printf("%lld\n", ans);
34 }

Luogu 1641[SCOI2010]生成字符串 - 卡特蘭數