題目描述

lxhgww最近接到了一個生成字符串的任務，任務需要他把n個1和m個0組成字符串，但是任務還要求在組成的字符串中，在任意的前k個字符中，1的個數不能少於0的個數。現在lxhgww想要知道滿足要求的字符串共有多少個，聰明的程序員們，你們能幫助他嗎？

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入數據是一行，包括2個數字n和m

輸出格式：

輸出數據是一行，包括1個數字，表示滿足要求的字符串數目，這個數可能會很大，只需輸出這個數除以20100403的余數

輸入輸出樣例

2 2

2

說明

limitation

每點2秒

對於30%的數據，保證1<=m<=n<=1000

對於100%的數據，保證1<=m<=n<=1000000

來源：SCOI 2010

分析(轉載)

原文地址

寫的確實不錯。

首先，我們設選1為(1,1),選0為(1,-1)

目標就是(n+m,n-m)

總方案數為C(n+m,n)，因為有n+m個位置，放n個1

然後要減去不合法的即線路通過y=-1的。將線路與y=-1交點的左邊沿著y=-1做對稱操作，則最後等價於從(0,-2)走到(n+m,n-m)的方案數

所以向上走n-m+2

則有x-y=n-m+2

　　x+y=n+m

　　x=n+1,y=m-1

所以不合法方案為C(n+m,n+1)

ans=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)

求這些用模逆元，O(n)求解

另附上洛谷題解中的分析

原文地址

可以考慮把11的個數與00的個數的和看成xx坐標，11的個數與00的個數的差看成yy坐標，那麽如下圖：

向右上走（xx坐標加11，yy坐標加11）就表示這個字符選擇11。

向右下走（xx坐標加11，yy坐標減11）就表示這個字符選擇00。

這樣子，如果不考慮限制條件，就表示從(0,0)(0,0)走n+mn+m步到達(n+m,n-m)(n+m,n?m)，這相當於從n+mn+m步中選出mm步向右下走，也就是C(n+m,m)C(n+m,m)。

考慮限制條件，任意前綴中11的個數不少於00的個數，也就是這條路徑不能經過直線y=-1y=?1。可以通過對稱性發現，從(0,0)(0,0)走到直線y=-1y=?1上的一點，相當於從(0,-2)(0,?2)走到該點。也就是說，路徑經過直線y=-1y=?1的方案數就是從(0,-2)(0,?2)走n+mn+m步到達(n+m,n-m)(n+m,n?m)，這個方案數可以用組合數表示為C(n+m,m-1)C(n+m,m?1)。

所以最後結果為C(n+m,m)-C(n+m,m-1)C(n+m,m)?C(n+m,m?1)。對於組合數，可以預處理階乘後用乘法逆元計算。

代碼

我是用費馬小定理做的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int p=20100403;
typedef long long ll;
int n,m;
int fac[2000005];
int power(int a,int b)
{
    int res=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(ll)res*(ll)base%(ll)p;
        base=(ll)base*(ll)base%(ll)p;
        b=b>>1;
    }
    return res;
}
int inv(int x)
{ return power(x,p-2);}
void fct()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=2000000;i++)
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*(ll)i%(ll)p;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fct();
    int t1,t2,x1,x2,ans;
    t1=fac[n+m];
    t2=(ll)fac[n]*(ll)fac[m]%(ll)p;
    x1=(ll)t1*(ll)inv(t2)%(ll)p;
    t2=(ll)fac[m-1]*(ll)fac[n+1]%(ll)p;
    x2=(ll)t1*(ll)inv(t2)%(ll)p;
    ans=(x1%p-x2%p+p)%p;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
    

【洛谷P1641】[SCOI2010]生成字符串