zzk的互測題真毒瘤，三道題在洛谷上都是紫題......

而且T1是集訓隊真題，T2是NOI真題，T3是省選真題，難度貌似是遞減......

這道題是T3。

洛谷 P1641 傳送門

考試的時候是打表做的，30分的很顯然了，n²能推出來。

f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j](i<=j),f[0][0]=1。

然後我感覺這個遞推式的結構有點像楊輝三角，就打了個表。

發現f(n,m)=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)，於是就當場切掉了這道題。

當然打表找規律肯定不是正解。

正解是把這個問題轉化為另一種問題。

從(0,0)走到(n+m,n-m),x坐標為‘1‘和‘0‘的和，y坐標為‘1‘和‘0‘的差。

每次只能向右上或右下走。

右上(x++,y++)就是選了‘1‘，右下反之。

所以不考慮限制，所有情況是C(n+m,n)（n+m步裏有n個選擇‘1‘的步）。

限制是‘1‘>=‘0‘ , ‘1‘-‘0‘>=‘0‘-‘0‘

所以y>=0

也就是說，所有走到y=-1的都不合法。

而從(0,0)走到y=-1的都可以對稱成從(0,-2)走到y=-1。

所以不合法方案數為C(n+m,n+1)

最終求得答案就是f(n,m)=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)。

也有用卡特蘭數的解法，我不會。

註意要用線性篩逆元求組合數（不過別的方法貌似也成）。

 1 #include<cstdio>
 2
 
 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define mod 20100403
 5 #define ll long long
 6 using namespace std;
 7 
 8 ll n,m;
 9 ll mul[2000005],inv[2000005];
10 
11 ll c(ll x,ll y)
12 {
13     return (((mul[x]*inv[x-y])%mod)*inv[y])%mod;
14 }
15 
16 int main()
17 {
18     scanf("%lld%lld",&n,&m);
 
19     mul[0]=mul[1]=inv[0]=inv[1]=1;
20     ll tot=m+n;
21     for(ll i=2;i<=tot;i++)mul[i]=mul[i-1]*i%mod;
22     for(ll i=2;i<=tot;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
23     for(ll i=2;i<=tot;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
24     ll ans=((c(tot,n)-c(tot,n+1))%mod+mod)%mod;
25     printf("%lld\n",ans);
26     return 0;
27 }

[SCOI2010] 生成字符串