以多項式作為分界函數？

一、常見算法大致分為兩類：

　　一類是多項式時間內可實現的

　　另一類需要指數時間（O(cⁿ)）

二、多項式時間算法與計算模型無關

　　算法的研究依賴於計算模型。在不同類型計算模型上實現算法，計算時間不同。

　　廣義Church-Turing命題：不同計算模型上的計算時間有多項式時間關系。

　　多項式與多項式的復合函數是多項式，因此，多項式算法與計算模型無關。

問題分類

一、判定問題

　　解只有兩種，yes或no

　　例：給定圖G=(V,E)，問該圖是否有哈密爾頓圈。

二、優化問題

　　例：給定圖G=(V,E)，假設邊的費用為自然數。求改圖的最短哈密爾頓回路。

三、問題轉換

　　優化問題可轉換為相應的判定問題求解。

是否所有的難解問題通過並行計算使其在多項式內可解？

　　關於並行算法：當將一個問題分解到多個處理器上解決時，由於算法中不可避免地存在必須串行的操作，從而大大地限制了並行計算機系統的加速能力。

　　阿達爾定律：串行執行操作僅占全部操作1%，解題速度最多只能提高一百倍。

　　阿達爾定律告訴我們，對於有些難解問題，即使提高計算機運行速度，也不能在多項式時間內驗證。即並非所有的難解問題都屬於NP類。如，漢諾塔問題：推測階段給出一種盤子移動方法；驗證階段需要2ⁿ步驗證該解的正確性。

P類和NP類問題的差別

主要差別在於：

　　P類問題可以用多項式時間的確定性算法進行判定或求解。

　　NP類問題可以用多項式時間的確定性算法來驗證它的解。

結論：

　　P?NP

猜測：

　　NP≠P？

解決NP=P？的途徑

　　解決這個猜想，有兩種可能：

　　一種是找到一個這樣的算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個多項式算法，即可證明NP=P。

　　另一種可能，就是這樣的算法是不存在的。需要從數學理論上證明它為什麽不存在。

NP完全問題的近似解法

• 使用動態規劃、回溯法或分支限界法求解
• 使用概率算法求解
• 使用啟發式算法求解：遺傳算法、模擬退火

算法復雜性分界函數—多項式