算法復雜度分為時間復雜度和空間復雜度。
時間復雜度用於度量算法運行的時間長短；而空間復雜度則是用於度量算法所需存儲空間的大小。

時間復雜度

1.時間頻度

　　一個算法運行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才幹知道。但我們不可能也沒有必要對每一個算法都上機測試，僅僅需知道哪個算法花費的時間多。哪個算法花費的時間少就能夠了。

而且一個算法花費的時間與算法中語句的運行次數成正比例。哪個算法中語句運行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句運行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。

2.計算方法

　　1. 普通情況下，算法的基本操作反復運行的次數是模塊n的某一個函數f（n）。因此，算法的時間復雜度記做：T（n）=O（f（n））
　　分析：隨著模塊n的增大，算法運行的時間的增長率和f（n）的增長率成正比。所以f（n）越小，算法的時間復雜度越低。算法的效率越高。

　　2. 在計算時間復雜度的時候，先找出算法的基本操作，然後依據對應的各語句確定它的運行次數，再找出T（n）的同數量級（它的同數量級有下面：1。Log2n 。n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！

），找出後。f（n）=該數量級，若T(n)/f(n)求極限可得到一常數c，則時間復雜度T（n）=O（f（n））

　　例：算法：

　　for（i=1;i<=n;++i）
　　{
　　for(j=1;j<=n;++j)
　　{
　　c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬於基本操作運行次數：n的平方 次
　　for(k=1;k<=n;++k)
　　c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬於基本操作 運行次數：n的三次方 次
　　}
　　}

　　則有 T（n）= n的平方+n的三次方，依據上面括號中的同數量級。我們能夠確定 n的三次方 為T（n）的同數量級
　　則有f（n）= n的三次方，然後依據T（n）/f（n）求極限可得到常數c
　　則該算法的 時間復雜度：T（n）=O（n的三次方）

3.分類

　　按數量級遞增排列。常見的時間復雜度有：
　　常數階O(1),對數階O(log2n),線性階O(n),
　　線性對數階O(nlog2n),平方階O(n2)。立方階O(n3),…，
　　k次方階O(nk), 指數階O(2n) 。

隨著問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的運行效率越低。

空間復雜度

　　與時間復雜度類似，空間復雜度是指算法在計算機內運行時所需存儲空間的度量。記作:
　　S(n)=O(f(n))
　　我們一般所討論的是除正常占用內存開銷外的輔助存儲單元規模。

算法的時間復雜度（計算實例）

算法的時間復雜度
定義：假設一個問題的規模是n，解這一問題的某一算法所須要的時間為T(n)。它是n的某一函數 T(n)稱為這一算法的“時間復雜性”。

當輸入量n逐漸加大時，時間復雜性的極限情形稱為算法的“漸近時間復雜性”。

我們經常使用大O表示法表示時間復雜性，註意它是某一個算法的時間復雜性。

大O表示僅僅是說有上界。由定義假設f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)。它給你一個上界，但並非上確界。但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。

此外，一個問題本身也有它的復雜性。假設某個算法的復雜性到達了這個問題復雜性的下界。那就稱這種算法是最佳算法。

“大O記法”：在這樣的描寫敘述中使用的基本參數是 n，即問題實例的規模，把復雜性或執行時間表達為n的函數。這裏的“O”表示量級 (order)，比方說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它須要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的數組”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。

這樣的漸進預計對算法的理論分析和大致比較是很有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。比如。一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法執行得更快。

當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上升函數的算法必定工作得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以上三條單個語句的頻度均為1。該程序段的運行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間復雜度為常數階。記作T(n)=O(1)。

假設算法的運行時間不隨著問題規模n的添加而增長。即使算法中有上千條語句。其運行時間也只是是一個較大的常數。

此類算法的時間復雜度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交換i和j的內容

sum=0。 （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）
sum++； （n^2次）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.

for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}

解：語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程序的時間復雜度T(n)=O(n^2).

O(n)

2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b;　　　　③
b=a;　　　　　④
a=s;　　　　　⑤
}

解：語句1的頻度：2,
語句2的頻度： n,
語句3的頻度： n-1,
語句4的頻度：n-1,
語句5的頻度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log2n )

2.4.

i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②

解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )

O(n^3)

2.5.

for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}

解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數為k當i=m時, j 能夠取 0,1,…,m-1 , 所以這裏最內循環共進行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間復雜度為O(n^3).

我們還應該區分算法的最壞情況的行為和期望行為。如高速排序的最壞情況執行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都細致地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到差點兒等於 0。

在實際中，精心實現的高速排序一般都能以 (O(nlogn)時間執行。

以下是一些經常使用的記法：

訪問數組中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個算法如 果能在每一個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字符的串須要O(n)時間。常規的矩陣乘算法是O(n^3)。由於算出每一個元素都須要將n對 元素相乘並加到一起，全部元素的個數是n^2。

指數時間算法通常來源於須要求出全部可能結果。比如，n個元 素的集合共同擁有2n個子集,所以要求出全部子集的算法將是O(2n)的。指數算法一般說來是太復雜了，除非n的值很小。由於，在 這個問題中添加一個元素就導致執行時間加倍。不幸的是。確實有很多問題 (如著名的“巡回售貨員問題” )，到眼下為止找到的算法都是指數的。假設我們真的遇到這樣的情況。通常應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。

算法復雜度的漸近表示法

一個算法的時間復雜度，指算法執行的時間。

如果數據輸入規模是n，算法的復雜度能夠表示為f(n)的函數

一 大O記號

如果f(n)和g(n)的定義域是非負整數，存在兩個正整數c和n0，使得n>n0的時候，f(n)≤c*g(n),則f(n)=O(g(n))。可見O(g(n))能夠表示算法執行時間的上界。O(g(n))表示的函數集合的函數是階數不超過g(n)的函數。

比如：f(n)=2*n+2=O(n)

證明：當n>3的時候，2*n +2<3n，所以可選n0=3,c=3，則n>n0的時候。f(n)<c*(n)。所以f(n)=O(n)。

如今再證明f(n)=2*n+2=O(n^2)

證明：當n>2的時候，2*n+2<2*n^2，所以可選n0=2,c=2,則n>n0的時候，f(n)<c*(n^2)。所以f(n)=O(n^2)。

同理可證f(n)=O(n^a)，a>1

二 ?記號

?記號與大O記號相反，他能夠表示算法執行時間的下界。

?（g（n））表示的函數集合的函數是全部階數超過g(n)的函數。

比如：f(n)=2*n^2+3*n+2=?(n^2)

證明：當n>4的時候，2*n^2+3*n+2>n^2，所以可選n0=4,c=1,則n>n0的時候，f(n)>c*(n^2)，所以f(n)=?(n^2)。

同理可證f(n)=?(n),f(n)=?(1)

三 Θ記號

Θ記號介於大O記號和?記號之間。他表示，存在正常數c1,c2,n0，當n>n0的時候，c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)。則f(n)=Θ(g(n))。他表示全部階數與g(n)同樣的函數集合。

四 小o記號

f(n)=o(g(n))當且僅當f(n)=O(g(n))且f(n)≠?(g(n))。

也就是說小o記號能夠表示時間復雜度的上界。可是一定不等於下界。

五 樣例

如果f(n)=2n^2+3n+5，

則f(n)=O(n^2)或者f(n) = O(n^3)或者f(n)=O(n^4)或者……

f(n)=?(n^2)或者f(n)=?(n)或者f(n)=?(1)

f(n)=Θ(n^2)

f(n) = o(n^3)或者f(n)=o(n^4)或者f(n)=o(n^5)或者……

註：n^2表示n的平方。以此類推。

常見排序算法時空復雜度

再談算法復雜度