Problem Description

　　為了給騰訊公司找到更多優秀的人才，HR湫秋最近去某高校組織了一次針對該校所有系的聚會，邀請了每個系的一些優秀學生來參加。

　　作為組織者，湫秋要安排他們的座位。這並不是一件很簡單的事情，因為只有一排位置，並且位置總數恰好等於參加聚會的人數。為了促進交流，兩個來自相同系的同學不可以座位相鄰。湫秋現在希望知道有多少種不同的合理安排座位的方法（任意兩個合理的安排方法，只要有一個位置的同學不同，都被認為是不同的）。

Input

輸入第一行為T，表示有T組測試數據。
每組數據一個N開始，表示一共有多少個系。下面的一行包含N個整數Ai，表示每個系的到場人數。

[Technical Specification]

1. 1 <= T <= 47
2. 1 <= N, Ai <= 47
3. 1 <= Sum(Ai) <= 447

Output

對每組數據，先輸出為第幾組數據，然後輸出結果。由於結果可能很大，輸出對1,000,000,007 取余後的結果。

Sample Input

3
2
1 2
2
1 3
3
1 2 3

Sample Output

Case 1: 2
Case 2: 0
Case 3: 120

思路：

• 簡化題目：這裏不同的人有不同的排法，為了簡化，把每個系的人當成不同顏色的球，相同色的球無差別，這樣計算。最後在乘上一個階乘。

• 這題直接用數學方法似乎沒什麽太方便的思路；數據範圍又不大，按套路來說，不會是貪心，是計數dp。

• dp的分階段決策:按顏色順序，每次將一種顏色的球全部放完。dp要記錄當前放到了第i種球，有多少對相鄰的同色的球。然後要考慮把當前這種球按什麽樣的方式放入，會破壞多少對相鄰同色球，又增加多少對相鄰同色球。

• dp初始狀態：dp[1][A[1]-1]=1;dp一維記錄到第幾組球了,一維記錄有多少對同色相鄰對.

• 放到第i組球，個數為A[i].枚舉分的組數,用隔板法可以先算出分k組時有幾種情況.然後枚舉有幾組是拿去拆掉同色相鄰對的,然後組合數一下.註意,對A[i]個分組,是按順序把這k組插到已有的隊列裏面的.按順序插入+隔板相當於枚舉各種分組情況的全排列.

• 另外一些小細節,見代碼和註釋.

AC代碼:

#include<bits/stdc++.h>
#define M 50
#define N 450
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int T,cs,n,x,sum;
int dp[M][N],C[N][N],fac[M];
inline void add(int &x,int y) {
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
}
inline void Input() {
    fac[1]=1;
    for(int i=2; i<M; i++)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=0; i<N; i++) {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1; j<i; j++) {
            add(C[i][j],C[i-1][j]);
            add(C[i][j],C[i-1][j-1]);
        }
    }
}
inline void init() {
    memset(dp,0,sizeof(dp));
}
int main() {
    Input();
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        init();
        scanf("%d%d",&n,&x);
        dp[1][x-1]=1;
        sum=x;
        int mul=fac[x];
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            scanf("%d",&x);
            mul=1ll*fac[x]*mul%mod;
            for(int j=0; j<sum; j++) {//有多少空位,兩邊是同色的
                if(!dp[i-1][j])continue;
                for(int k=1; k<=x; k++)//分成k組 本來x有x-1個空檔，現在只有k-1個空檔
                    //說明有(x-1)-(k-1)個空檔，左右兩邊的人是同組的
                    for(int p=0; p<=min(j,k); p++)//選出p組去拆
                        add(dp[i][j-p+x-k],1ll*dp[i-1][j]*C[x-1][k-1]%mod*C[sum+1-j][k-p]%mod*C[j][p]%mod);
            }
            sum+=x;
            //把所有拆分情況按順序填到空檔中，可以涵蓋所有空檔中填的球的不同個數的情況 
        }
        dp[n][0]=1ll*dp[n][0]*mul%mod;//先看做沒有區別的球，最後乘排列 
        printf("Case %d: %d\n",++cs,dp[n][0]);
    }
    return 0;
}

HDU-4532湫秋系列故事——安排座位