題目鏈接

題意 : 有種不同的字符，每種字符有無限個，要求用這k種字符構造兩個長度為n的字符串a和b，使得a串和b串的最長公共部分長度恰為m，問方案數

分析 :

直覺是DP

不過當時看到 n 很大、但是 m 很小的時候

發現此題DP並不合適、於是想可能是某種組合數學的問題可以直接公式算

看到題解的我、恍然大悟、對於這種數據、可以考慮一下矩陣快速冪優化的DP

首先要想到線性遞推的 DP 式子

最直觀的想法就是 dp[i][j] = 到第 i 個位置為止、前面最長匹配長度為 j 的方案數

但是如果仔細想想、這樣子的定義狀態並不好轉移、遂換一種思路

定義 dp[i][j] = 到第 i 個位置為止、以第 i 個字符為結尾的匹配串的長度為 j 的方案數

有轉移

dp[i][0] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + .... + dp[i-1][m] ) * k * (k-1) （k * (k-1) 的意義是a、b串第 i 個字符不一樣的方案數）

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] * k ( j ≤ i )

然後嘗試去構造矩陣、此處引用 鏈接

但是註意一下這裏的 DP 意義、答案最後並不是 dp[n][m]

dp[n][0] + dp[n][1] + ... + dp[n][m] 可以看成到第 n 個位置為止匹配長度 ≤ m 的方案數

那麽如果可以得到匹配長度 ≤ m-1 的方案數兩者相減就可以得到匹配長度恰為 m 的方案數了

所以做兩次矩陣快速冪即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

#define scl(i) scanf("%lld", &i)
#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)
#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)
#define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l)

#define
 
 scs(i) scanf("%s", i)
#define sci(i) scanf("%d", &i)
#define scd(i) scanf("%lf", &i)
#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)
#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)
#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)
#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)
#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)
#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)
#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)
#define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l)
#define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l)
#define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l)

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define lowbit(i) (i & (-i))
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))

#define fir first
#define sec second
#define VI vector<int>
#define ins(i) insert(i)
#define pb(i) push_back(i)
#define pii pair<int, int>
#define VL vector<long long>
#define mk(i, j) make_pair(i, j)
#define all(i) i.begin(), i.end()
#define pll pair<long long, long long>

#define _TIME 0
#define _INPUT 0
#define _OUTPUT 0
clock_t START, END;
void __stTIME();
void __enTIME();
void __IOPUT();
using namespace std;


const int maxn = 1e5 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;

struct MAT{
    LL val[12][12];
    int sz;
    MAT(){};
    MAT(int _sz){ sz = _sz; memset(val, 0, sizeof(val)); }
    friend MAT operator * (const MAT & A, const MAT & B){
        MAT C(A.sz);
        for(int k = 1; k <= C.sz; k++)
            for(int i = 1; i <= C.sz; i++){
                if(A.val[i][k] == 0) continue;
                for(int j = 1; j <= C.sz; j++){
                    C.val[i][j] = C.val[i][j] + A.val[i][k] * B.val[k][j] % mod;
                    if(C.val[i][j] >= mod) C.val[i][j] -= mod;
                }
            }
        return C;
    }
};

MAT pow_mod(MAT a, LL b)
{
    MAT ret(a.sz);
    for(int i=1; i<=ret.sz; i++) ret.val[i][i] = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = ret * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }return ret;
}

LL Cal(int n, int m, int k)
{
    MAT A(m+1);
    for(int i=1; i<=A.sz; i++) A.val[1][i] = 1LL * k * (k - 1);
    for(int i=2; i<=A.sz; i++) A.val[i][i-1] = k * 1LL;

    A = pow_mod(A, n);

    LL ret = 0;
    for(int i=1; i<=A.sz; i++)
        ret = (ret + A.val[i][1]) % mod;
    return ret;
}

int main(void){__stTIME();__IOPUT();


    int nCase;

    sci(nCase);

    while(nCase--){
        int n, m, k;
        sciii(n, m, k);
        printf("%lld\n", (Cal(n, m, k) - Cal(n, m-1, k) + mod) % mod);
    }
























__enTIME();return 0;}


void __stTIME()
{
    #if _TIME
        START = clock();
    #endif
}

void __enTIME()
{
    #if _TIME
        END = clock();
        cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
    #endif
}

void __IOPUT()
{
    #if _INPUT
        freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif
    #if _OUTPUT
        freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif
}

HDU 5863 cjj's string game ( 16年多校10 G 題、矩陣快速冪優化線性遞推DP )