工控領域經常會涉及速度加減速的算法：線性加減速，S曲線加減速（sin函數，拓展其他三角函數曲線）， 貝塞爾曲線，等等。

線性加減速： 設定起始速度V0，目標速度V1，加速時間Ta（s,或加速度），這個的任務執行周期為ΔT( ms 級 或者設定定時器，定時時間必須大於任務周期否則還是按任務周期計算輸出)。

int iCounter ;

　 iCounter = Ta/(ΔT/1000) ; //計算達到輸出 任務需執行的 周期數。

　for(int i =0; i<iCounter;i++ )　

　　Vout = V0+i*（V1-V0）/iCounter; // Vout 為每個周期 輸出 的 目標 速度。

S曲線加減速： 設定起始速度V0，目標速度V1，加速時間Ta（s,或加速度），這個的任務執行周期為ΔT( ms 級 或者設定定時器，定時時間必須大於任務周期否則還是按任務周期計算輸出)。

　　int iCounter ;

　　iCounter = Ta/(ΔT/1000) ; //計算達到輸出 任務需執行的 周期數。

　　for(int i =0; i<iCounter;i++ )　

　　 Vout = V0+（V1-V0）（1+Sin( (pi/iCounter)*i-pi/2 )）; // Vout 為每個周期 輸出 的 目標 速度。

貝塞爾曲線：很少或者基本不用貝塞爾曲線來規劃 曲線加減速，但是有必要了解貝塞爾曲線的原理，及其低階曲線的算法（3、4控制點）。

貝塞爾曲線原理：

下面我們就通過例子來了解一下如何用 de Casteljau 算法繪制一條貝塞爾曲線。

在平面內任選 3 個不共線的點，依次用線段連接。

在第一條線段上任選一個點 D。計算該點到線段起點的距離 AD，與該線段總長 AB 的比例。

根據上一步得到的比例，從第二條線段上找出對應的點 E，使得 AD:AB= BE:BC。

連接這兩點 DE。

從新的線段 DE 上再次找出相同比例的點 F，使得 DF:DE= AD:AB= BE:BC。

到這裏，我們就確定了貝塞爾曲線上的一個點 F。接下來，請稍微回想一下中學所學的極限知識，讓選取的點 D 在第一條線段上從起點 A 移動到終點 B，找出所有的貝塞爾曲線上的點 F。所有的點找出來之後，我們也得到了這條貝塞爾曲線。

如果你實在想象不出這個過程，沒關系，看動畫！

回過頭來看這條貝塞爾曲線，為了確定曲線上的一個點，需要進行兩輪取點的操作，因此我們稱得到的貝塞爾曲線為二次曲線（這樣記憶很直觀，但曲線的次數其實是由前面提到的伯恩斯坦多項式決定的）。

當控制點個數為 4 時，情況是怎樣的？

步驟都是相同的，只不過我們每確定一個貝塞爾曲線上的點，要進行三輪取點操作。如圖，AE:AB= BF:BC= CG:CD= EH:EF= FI:FG= HJ:HI，其中點 J 就是最終得到的貝塞爾曲線上的一個點。

這樣我們得到的是一條三次貝塞爾曲線。

看過了二次和三次曲線，更高次的貝塞爾曲線大家應該也知道要怎麽畫了吧。那麽比二次曲線更簡單的一次（線性）貝塞爾曲線存在嗎？長什麽樣？根據前面的介紹，只要稍作思考，想必你也能猜出來了。哈！就是一條直線~

能畫曲線也能畫直線，是不是很厲害？要繪制更復雜的曲線，控制點的增加也僅僅是線性的。這一特點使其不光在工業設計領域大展拳腳，就連數學基礎不好的人也可以比較容易地掌握，比如大多數平面美術設計師們。

上面介紹的內容並不足以展示貝塞爾曲線的真正威力。推廣到三維空間的貝塞爾曲面，以及更進一步的非均勻有理 B 樣條（NURBS），早已成為當今計算機輔助設計（CAD）的行業標準，不論是我們平常用到的各種產品，還是在電影院看到的精彩大片，都少不了它們的功勞。

2. 思路解析

百度百科上給出的一般參數公式是這樣的： 給定點 P0,P1,P2, ... ,Pn，其貝塞爾曲線公式如下（即貝塞爾曲線上的點 B(t) 可由如下公式計算得到）：

可以看出其公式是由一個格式固定的表達式之和來表示，這個表達式就是關鍵：

該表達式可分為四個部分看：

• 從 i 遞增到 n 的常數部分
• Pi 坐標部分
• (1 - t)^(n - i)
• t^i 可以看出這四部分都與 i 的值相關，此外 t 值的計算方式為：i/(n+1)

如果直接從上面的公式上找規律比較抽象，那就從具體的例子中找規律吧：

設 Bt 為要計算的貝塞爾曲線上的坐標，N 為控制點個數，P0,P1,P2..Pn 為貝塞爾曲線控制點的坐標，當 N 值不同時有如下計算公式: 如 N 為 3 表示貝塞爾曲線的控制點有 3 個點，這時 n 為 2 ，這三個點分別用 P0,P1,P2 表示。

• N = 3: P = (1-t)^2P0 + 2(1-t)tP1 + t^2*P2
• N = 4: P = (1-t)^3P0 + 3(1-t)^2tP1 + 3(1-t)t^2P2 + t^3*P3
• N = 5: P = (1-t)^4P0 + 4(1-t)^3tP1 + 6(1-t)^2*t2P2 + 4(1-t)t^3P3 + t^4*P4

將貝塞爾曲線一般參數公式中的表達式用如下方式表示： 設有常數 a,b 和 c，則該表達式可統一表示為如下形式： a * (1 - t)^b * t^c * Pn;

分析當 N 分別為3,4,5 時對應 a,b,c 的值： 如 N = 3 時，公式有三個表達式，第一個表達式為 (1-t)^2*P0，其對應 a,b,c 值分別為：1,2,0

• N = 3: 1,2,0 2,1,1 1,0,2 a: 1 2 1 b: 2 1 0 c: 0 1 2
• N = 4: 1,3,0 3,2,1 3,1,2 1,0,3 a: 1 3 3 1 b: 3 2 1 0 c: 0 1 2 3
• N = 5: 1,4,0 4,3,1 6,2,2 4,1,3 1,0,4 a: 1 4 6 4 1 b: 4 3 2 1 0 c: 0 1 2 3 4

根據上面的分析就可以總結出 a,b,c 對應的取值規則：

• b: (N - 1) 遞減到 0 (b 為 1-t 的冪)
• c: 0 遞增到 (N - 1) (c 為 t 的冪)
• a: 在 N 分別為 1,2,3,4,5 時將其值用如下形式表示：
  N=1:---------1 N=2:--------1 1 N=3:------1 2 1 N=4:-----1 3 3 1 N=5:---1 4 6 4 1 a 值的改變規則為： 楊輝三角

接下來就實現它：先再來一個例子
比如計算控制點坐標分別為：P0(3,8)，P1(2,3)，P2(2,7)，想要返回 10 個在貝塞爾曲線上的點，用 java 可以這樣寫：

關於曲線 規劃 算法 線性 S曲線 貝塞爾曲線