1，爬樓梯問題

一個人爬樓梯，每次只能爬1個或兩個臺階，假設有n個臺階，那麼這個人有多少種不同的爬樓梯方法

動態規劃的狀態轉移：第 i 個狀態的方案數和第 i-1, i-2時候的狀態有關，即：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，dp表示狀態矩陣。

def climb_stairs(n):
    dp=[0]*n
    dp[0]=1
    dp[1]=2
    for i in range(2,n):
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
    return dp[n-1]

2，取珠寶問題

一條直線上，有n 個房間，每個房間數量不等的財寶，一個盜賊希望從房屋中盜取財寶，由於房屋有警報器，同時從相鄰兩個房間盜取珠寶就會觸發警報，求在不觸發警報的情況下，最多可獲取多少財寶？

如有6個房間，每個房間珠寶數量為[5,2,6,3,1,7]

狀態轉移：

前1個房間可獲取珠寶的最大數量：5；

前2個房間可獲取珠寶的最大數量：5；

前3個房間可獲取珠寶的最大數量：11；

前4個房間可獲取珠寶的最大數量：11；

前5個房間可獲取珠寶的最大數量：12；

可以發現，前i個房間最大可獲取的數量和前i-1，i-2個房間可獲取的最大珠寶數量，以及第i個房間的珠寶數量有關：第i個房間珠寶有兩種方案，獲取（總最大數量等於第i個房間的珠寶數量+前i-2個房間的珠寶最大數量）和不獲取（總最大數量=前i-1個房間可獲取珠寶的最大數量）。

即：dp[i]=max(dp[i-2]+value[i],dp[i-1])，dp表示狀態矩陣。

def stealJewellery(value):
    n=len(value)
    dp=[0]*n
    dp[0]=5
    dp[1]=5
    for i in range(2,n):
        dp[i]=max(dp[i-2]+value[i],dp[i-1])
    return dp[n-1]

value=[5,2,6,3,1,7]
print(stealJewellery(value))  

3，最大子序列和問題

給定一個數組，求這個陣列的連續子陣列中，最大的那一段的和。

如陣列 arr= [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

狀態轉移：

 如果當前陣列的值arr[i]加上第i-1個狀態的值大於陣列arr[i],第i個狀態的值就等於arr[i]+dp[i-1],

否則，dp[i]=arr[i]。其中dp[i]記錄的是以第i個數組結尾的最大欄位和

記錄當前最大的子序列和。即 dp[i]=max(dp[i-1]+arr[i],arr[i])，最大子序列和為max(dp)

def subsequenceSum(arr):
    n=len(arr)
    dp=[0]*n
    dp[0] = arr[0]
    for i in range(1,n):
        dp[i]=max(dp[i-1]+arr[i],arr[i])
    return max(dp)

4，找零錢問題

已知不同面值的鈔票，求如何用最少數量的鈔票組成某個金額，求可以使用的最少鈔票數量。如果任意數量的已知面值鈔票都無法組成該金額，則返回-1

假設coins=[1,2,5,7,10]，金額：amount=14，dp[i]表示金額 i 的最優解。

金額14的最後一張面額可能由coins裡面的任意一張得到，即：

14=coins[0]+(14-coins[0]) 14=1+13  dp[14]=1+dp[13]

14=coins[0]+(14-coins[1]) 14=2+12  dp[14]=1+dp[12]

14=coins[0]+(14-coins[2]) 14=5+9  dp[14]=1+dp[9]

14=coins[0]+(14-coins[3]) 14=7+7  dp[14]=1+dp[7]

14=coins[0]+(14-coins[4]) 14=10+4  dp[14]=1+dp[4]

具體最後一張選了哪個面額，就要看哪個面額情況下總拼湊數量最少。即：dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1)，當計算到金額14時候，小於14的金額的最小數量都已經求出並存儲在dp[i]裡面，此時只需要直接取出比較即可。最終函式返回dp[14]即為所求的最少數量。

求解程式碼一共有兩個for迴圈，一個是金額從0-amount的最少數量(dp[i])，另外一個是面額數量組合（coins[j]）。dp[i]的初始值都設定為amount+1，當所有的coins都無法拼湊當前金額 i 的時候，dp[i] = amount+1 此時dp[i] 大於amount，所以函式返回-1。

def coinChange(coins,amount):
    dp=[amount+1]*(amount+1)
    dp[0]=0
    for i in range(1,amount+1):
        for j in range(len(coins)):
            if coins[j]<=i:
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1)
    if dp[amount]>amount:
        return -1
    else:
        return dp[amount]

coins=[1,2,5,7,10]
print (coinChange(coins,14))