筆者去年曾寫過博文《果殼中的條件隨機場(CRF In A Nutshell)》，以一種比較粗糙的方式介紹了一下條件隨機場（CRF）模型。然而那篇文章顯然有很多不足的地方，比如介紹不夠清晰，也不夠完整，還沒有實現，在這裡我們重提這個模型，將相關內容補充完成。

本文是對CRF基本原理的一個簡明的介紹。當然，“簡明”是相對而言中，要想真的弄清楚CRF，免不了要提及一些公式，如果只關心呼叫的讀者，可以直接移到文末。

圖示 #

按照之前的思路，我們依舊來對比一下普通的逐幀softmax和CRF的異同。

逐幀softmax #

CRF主要用於序列標註問題，可以簡單理解為是給序列中的每一幀都進行分類

，既然是分類，很自然想到將這個序列用CNN或者RNN進行編碼後，接一個全連線層用softmax啟用，如下圖所示

逐幀softmax並沒有直接考慮輸出的上下文關聯

 

條件隨機場 #

然而，當我們設計標籤時，比如用s、b、m、e的4個標籤來做字標註法的分詞，目標輸出序列本身會帶有一些上下文關聯，比如s後面就不能接m和e，等等。逐標籤softmax並沒有考慮這種輸出層面的上下文關聯，所以它意味著把這些關聯放到了編碼層面，希望模型能自己學到這些內容，但有時候會“強模型所難”。

而CRF則更直接一點，它將輸出層面的關聯分離了出來，這使得模型在學習上更為“從容”：

CRF在輸出端顯式地考慮了上下文關聯

 

數學 #

當然，如果僅僅是引入輸出的關聯，還不僅僅是CRF的全部，CRF的真正精巧的地方，是它以路徑為單位，考慮的是路徑的概率。

模型概要 #

假如一個輸入有n

幀，每一幀的標籤有k中可能性，那麼理論上就有kn

中不同的輸入。我們可以將它用如下的網路圖進行簡單的視覺化。在下圖中，每個點代表一個標籤的可能性，點之間的連線表示標籤之間的關聯，而每一種標註結果，都對應著圖上的一條完整的路徑。

4tag分詞模型中輸出網路圖

 

而在序列標註任務中，我們的正確答案是一般是唯一的。比如“今天天氣不錯”，如果對應的分詞結果是“今天/天氣/不/錯”，那麼目標輸出序列就是bebess，除此之外別的路徑都不符合要求。換言之，在序列標註任務中，我們的研究的基本單位應該是路徑，我們要做的事情，是從k

n

條路徑選出正確的一條，那就意味著，如果將它視為一個分類問題，那麼將是kn

類中選一類的分類問題！

這就是逐幀softmax和CRF的根本不同了：前者將序列標註看成是n

個k分類問題，後者將序列標註看成是1個kn

分類問題。

具體來講，在CRF的序列標註問題中，我們要計算的是條件概率

P(y1,…,yn|x1,…,xn)=P(y1,…,yn|x),x=(x1,…,xn)(1)

 

為了得到這個概率的估計，CRF做了兩個假設：

假設一 該分佈是指數族分佈。

這個假設意味著存在函式f(y1,…,yn;x)

，使得

P(y1,…,yn|x)=1Z(x)exp(f(y1,…,yn;x))(2)

其中Z(x)是歸一化因子，因為這個是條件分佈，所以歸一化因子跟x有關。這個f

函式可以視為一個打分函式，打分函式取指數並歸一化後就得到概率分佈。

假設二 輸出之間的關聯僅發生在相鄰位置，並且關聯是指數加性的。

這個假設意味著f(y1,…,yn;x)

可以更進一步簡化為

f(y1,…,yn;x)=h(y1;x)++g(y1,y2;x)+h(y2;x)+…g(yn−1,yn;x)+h(yn;x)(3)

這也就是說，現在我們只需要對每一個標籤和每一個相鄰標籤對分別打分，然後將所有打分結果求和得到總分。

線性鏈CRF #

儘管已經做了大量簡化，但一般來說，(3)

式所表示的概率模型還是過於複雜，難以求解。於是考慮到當前深度學習模型中，RNN或者層疊CNN等模型已經能夠比較充分捕捉各個y與輸出x的聯絡，因此，我們不妨考慮函式g跟x無關，那麼

f(y1,…,yn;x)=h(y1;x)++g(y1,y2)+h(y2;x)+…g(yn−1,yn)+h(yn;x)(4)

這時候g實際上就是一個有限的、待訓練的引數矩陣而已，而單標籤的打分函式h(yi;x)我們可以通過RNN或者CNN來建模。因此，該模型是可以建立的，其中概率分佈變為

P(y1,…,yn|x)=1Z(x)exp(h(y1;x)+∑k=1n−1[g(yk,yk+1)+h(yk+1;x)])(5)

這就是線性鏈CRF的概念。

歸一化因子 #

為了訓練CRF模型，我們用最大似然方法，也就是用

−logP(y1,…,yn|x)(6)

 

作為損失函式，可以算出它等於

−(h(y1;x)+∑k=1n−1[g(yk,yk+1)+h(yk+1;x)])+logZ(x)(7)

其中第一項是原來概率式的分子的對數，它目標的序列的打分，雖然它看上去挺迂迴的，但是並不難計算。真正的難度在於分母的對數logZ(x)

這一項。

歸一化因子，在物理上也叫配分函式，在這裡它需要我們對所有可能的路徑的打分進行指數求和，而我們前面已經說到，這樣的路徑數是指數量級的（kn

），因此直接來算幾乎是不可能的。

事實上，歸一化因子難算，幾乎是所有概率圖模型的公共難題。幸運的是，在CRF模型中，由於我們只考慮了臨近標籤的聯絡（馬爾可夫假設），因此我們可以遞迴地算出歸一化因子，這使得原來是指數級的計算量降低為線性級別。具體來說，我們將計算到時刻t

的歸一化因子記為Zt，並將它分為k個部分

Zt=Z(1)t+Z(2)t+⋯+Z(k)t(8)

其中Z(1)t,…,Z(k)t分別是截止到當前時刻t中、以標籤1,…,k為終點的所有路徑的得分指數和。那麼，我們可以遞迴地計算

Z(1)t+1=Z(2)t+1=Z(k)t+1=(Z(1)tG11+Z(2)tG21+⋯+Z(k)tGk1)Ht+1(1|x)(Z(1)tG12+Z(2)tG22+⋯+Z(k)tGk2)Ht+1(2|x)⋮(Z(1)tG1k+Z(2)tG2k+⋯+Z(k)tGkk)Ht+1(k|x)(9)

它可以簡單寫為矩陣形式

Zt+1=ZtG⊗H(yt+1|x)(10)

其中Zt=[Z(1)t,…,Z(k)t]；而G是對g(yi,yj)各個元素取指數後的矩陣，即G=eg(yi,yj)；而H(yt+1|x)是編碼模型h(yt+1|x)（RNN、CNN等）對位置t+1的各個標籤的打分的指數，即H(yt+1|x)=eh(yt+1|x)，也是一個向量。式(10)中，ZtG這一步是矩陣乘法，得到一個向量，而⊗

是兩個向量的逐位對應相乘。

 

歸一化因子的遞迴計算圖示。從t到t+1時刻的計算，包括轉移概率和j+1節點本身的概率

 

如果不熟悉的讀者，可能一下子比較難接受(10)

式。讀者可以把n=1,n=2,n=3時的歸一化因子寫出來，試著找它們的遞迴關係，慢慢地就可以理解(10)

式了。

動態規劃 #

寫出損失函式−logP(y1,…,yn|x)

後，就可以完成模型的訓練了，因為目前的深度學習框架都已經帶有自動求導的功能，只要我們能寫出可導的loss，就可以幫我們完成優化過程了。

那麼剩下的最後一步，就是模型訓練完成後，如何根據輸入找出最優路徑來。跟前面一樣，這也是一個從kn

條路徑中選最優的問題，而同樣地，因為馬爾可夫假設的存在，它可以轉化為一個動態規劃問題，用viterbi演算法解決，計算量正比於n

。

動態規劃在本部落格已經出現了多次了，它的遞迴思想就是：一條最優路徑切成兩段，那麼每一段都是一條（區域性）最優路徑。在本部落格右端的搜尋框鍵入“動態規劃”，就可以得到很多相關介紹了，所以不再重複了～

實現 #

經過除錯，基於Keras框架下，筆者得到了一個線性鏈CRF的簡明實現，這也許是最簡短的CRF實現了。這裡分享最終的實現並介紹實現要點。

實現要點 #

前面我們已經說明了，實現CRF的困難之處是−logP(y1,…,yn|x)

的計算，而本質困難是歸一化因子部分Z((x)的計算，得益於馬爾科夫假設，我們得到了遞迴的(9)式或(10)式，它們應該已經是一般情況下計算Z(x)

的計算了。

那麼怎麼在深度學習框架中實現這種遞迴計算呢？要注意，從計算圖的視角看，這是通過遞迴的方法定義一個圖，而且這個圖的長度還不固定。這對於pytorch這樣的動態圖框架應該是不為難的，但是對於tensorflow或者基於tensorflow的Keras就很難操作了（它們是靜態圖框架）。

不過，並非沒有可能，我們可以用封裝好的rnn函式來計算！我們知道，rnn本質上就是在遞迴計算

ht+1=f(xt+1,ht)(11)

 

新版本的tensorflow和Keras都已經允許我們自定義rnn細胞，這就意味著函式f可以自行定義，而後端自動幫我們完成遞迴計算。於是我們只需要設計一個rnn，使得我們要計算的Z

對應於rnn的隱藏向量！

這就是CRF實現中最精緻的部分了。

至於剩下的，是一些細節性的，包括：

1、為了防止溢位，我們通常要取對數，但由於歸一化因子是指數求和，所以實際上是log(∑ki=1eai)

這樣的格式，它的計算技巧是：

log(∑i=1keai)=A+log(∑i=1keai−A),A=max{a1,…,ak}

tensorflow和Keras中都已經封裝好了對應的logsumexp函數了，直接呼叫即可；

2、對於分子（也就是目標序列的得分）的計算技巧，在程式碼中已經做了註釋，主要是通過用“目標序列”點乘“預測序列”來實現取出目標得分；

3、關於變長輸入的padding部分如何進行mask？我覺得在這方面Keras做得並不是很好。為了簡單實現這種mask，我的做法是引入多一個標籤，比如原來是s、b、m、e四個標籤做分詞，然後引入第五個標籤，比如x，將padding部分的標籤都設為x，然後可以直接在CRF損失計算時忽略第五個標籤的存在，具體實現請看程式碼。

程式碼速覽 #

純Keras實現的CRF層，歡迎使用～

# -*- coding:utf-8 -*-

from keras.layers import Layer
import keras.backend as K


class CRF(Layer):
    """純Keras實現CRF層
    CRF層本質上是一個帶訓練引數的loss計算層，因此CRF層只用來訓練模型，
    而預測則需要另外建立模型。
    """
    def __init__(self, ignore_last_label=False, **kwargs):
        """ignore_last_label：定義要不要忽略最後一個標籤，起到mask的效果
        """
        self.ignore_last_label = 1 if ignore_last_label else 0
        super(CRF, self).__init__(**kwargs)
    def build(self, input_shape):
        self.num_labels = input_shape[-1] - self.ignore_last_label
        self.trans = self.add_weight(name='crf_trans',
                                     shape=(self.num_labels, self.num_labels),
                                     initializer='glorot_uniform',
                                     trainable=True)
    def log_norm_step(self, inputs, states):
        """遞迴計算歸一化因子
        要點：1、遞迴計算；2、用logsumexp避免溢位。
        技巧：通過expand_dims來對齊張量。
        """
        states = K.expand_dims(states[0], 2) # (batch_size, output_dim, 1)
        trans = K.expand_dims(self.trans, 0) # (1, output_dim, output_dim)
        output = K.logsumexp(states+trans, 1) # (batch_size, output_dim)
        return output+inputs, [output+inputs]
    def path_score(self, inputs, labels):
        """計算目標路徑的相對概率（還沒有歸一化）
        要點：逐標籤得分，加上轉移概率得分。
        技巧：用“預測”點乘“目標”的方法抽取出目標路徑的得分。
        """
        point_score = K.sum(K.sum(inputs*labels, 2), 1, keepdims=True) # 逐標籤得分
        labels1 = K.expand_dims(labels[:, :-1], 3)
        labels2 = K.expand_dims(labels[:, 1:], 2)
        labels = labels1 * labels2 # 兩個錯位labels，負責從轉移矩陣中抽取目標轉移得分
        trans = K.expand_dims(K.expand_dims(self.trans, 0), 0)
        trans_score = K.sum(K.sum(trans*labels, [2,3]), 1, keepdims=True)
        return point_score+trans_score # 兩部分得分之和
    def call(self, inputs): # CRF本身不改變輸出，它只是一個loss
        return inputs
    def loss(self, y_true, y_pred): # 目標y_pred需要是one hot形式
        mask = 1-y_true[:,1:,-1] if self.ignore_last_label else None
        y_true,y_pred = y_true[:,:,:self.num_labels],y_pred[:,:,:self.num_labels]
        init_states = [y_pred[:,0]] # 初始狀態
        log_norm,_,_ = K.rnn(self.log_norm_step, y_pred[:,1:], init_states, mask=mask) # 計算Z向量（對數）
        log_norm = K.logsumexp(log_norm, 1, keepdims=True) # 計算Z（對數）
        path_score = self.path_score(y_pred, y_true) # 計算分子（對數）
        return log_norm - path_score # 即log(分子/分母)
    def accuracy(self, y_true, y_pred): # 訓練過程中顯示逐幀準確率的函式，排除了mask的影響
        mask = 1-y_true[:,:,-1] if self.ignore_last_label else None
        y_true,y_pred = y_true[:,:,:self.num_labels],y_pred[:,:,:self.num_labels]
        isequal = K.equal(K.argmax(y_true, 2), K.argmax(y_pred, 2))
        isequal = K.cast(isequal, 'float32')
        if mask == None:
            return K.mean(isequal)
        else:
            return K.sum(isequal*mask) / K.sum(mask)

除去註釋和accuracy的程式碼，真正的CRF的程式碼量也就30行左右，可以說跟哪個框架比較都稱得上是簡明的CRF實現了吧～

用純Keras實現一些複雜的模型，是一件頗有意思的事情。目前僅在tensorflow後端測試通過，理論上相容theano、cntk後端，但可能要自行微調。

使用案例 #

我的Github中還附帶了一個使用CNN+CRF實現的中文分詞的例子，用的是Bakeoff 2005語料，例子是一個完整的分詞實現，包括viterbi演算法、分詞輸出等。

Github地址：https://github.com/bojone/crf/

相關的內容還可以看我之前的文章：

1、【中文分詞系列】 4. 基於雙向LSTM的seq2seq字標註

2、【中文分詞系列】 6. 基於全卷積網路的中文分詞

結語 #

終於介紹完了，希望大家有所收穫，也希望最後的實現能對大家有所幫助～

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