資料結構基礎之圖（中）：圖的遍歷演算法
轉自：http://www.cnblogs.com/edisonchou/p/4676876.html
圖（中）：圖的遍歷演算法
上一篇我們瞭解了圖的基本概念、術語以及儲存結構，還對鄰接表結構進行了模擬實現。本篇我們來了解一下圖的遍歷，和樹的遍歷類似，從圖的某一頂點出發訪問圖中其餘頂點，並且使每一個頂點僅被訪問一次，這一過程就叫做圖的遍歷（Traversing Graph）。如果只訪問圖的頂點而不關注邊的資訊，那麼圖的遍歷十分簡單，使用一個foreach語句遍歷存放頂點資訊的陣列即可。但是，如果為了實現特定演算法，就必須要根據邊的資訊按照一定的順序進行遍歷。圖的遍歷演算法是求解圖的連通性問題、拓撲排序和求解關鍵路徑等演算法的基礎。
一、圖的遍歷
圖的遍歷要比樹的遍歷複雜得多，由於圖的任一頂點都可能和其餘頂點相鄰接，所以在訪問了某頂點之後，可能順著某條邊又訪問到了已訪問過的頂點。因此，在圖的遍歷過程中，必須記下每個訪問過的頂點，以免同一個頂點被訪問多次。為此，給頂點附加一個訪問標誌isVisited，其初值為false，一旦某個頂點被訪問，則將其isVisited標誌設為true。
protected class Vertex<TValue>
{
public TValue data; // 資料
public Node firstEdge; // 鄰接點連結串列頭指標
public bool isVisited; // 訪問標誌：遍歷時使用
public Vertex()
{
this.data = default(TValue);
}
public Vertex(TValue value)
{
this.data = value;
}
}
在上面的頂點類的定義中，增加了一個bool型別的成員isVisited，用於在遍歷時判斷是否已經訪問過了該頂點。一般在進行遍歷操作時，會首先將所有頂點的isVisited屬性置為false，於是可以寫一個輔助方法InitVisited()，如下所示：
/// <summary>
/// 輔助方法：初始化頂點的visited標誌為false
/// </summary>
private void InitVisited()
{
foreach (Vertex<T> v in items)
{
v.isVisited = false;
}
}
圖的遍歷方法主要有兩種：一種是深度優先搜尋遍歷（Depth-First Search，DFS），另一種是廣度優先搜尋遍歷（Breadth-First Search，BFS）。下面，我們就來仔細看看這兩種圖的遍歷演算法。
二、深度優先搜尋遍歷
2.1 深度優先遍歷原理
圖的深度優先遍歷類似於二叉樹的深度優先遍歷，其基本思想是：從圖中某個頂點v出發，訪問此頂點，然後從v的未被訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。顯然，這是一個遞迴的搜尋過程。
以上圖為例，假定V1是出發點，首先訪問V1。這時兩個鄰接點V2、V3均未被訪問，可以選擇V2作為新的出發點，訪問V2之後，再找到V2的未訪問過的鄰接點。同V2鄰接的有V1、V4和V5，其中V1已經訪問過了，可以選擇V4作為新的出發點。重複上述搜尋過程，繼續依次訪問V8、V5。訪問V5之後，由於與V5相鄰的頂點均已被訪問過，搜尋退回到V8，訪問V8的另一個鄰接點V6.接下來依次訪問V3和V7，最後得到的訪問序列為V1→V2→V4→V8→V5→V6→V3→V7。
2.2 深度優先遍歷實現
（1）實現程式碼
/// <summary>
/// 深度優先遍歷介面For連通圖
/// </summary>
public void DFSTraverse()
{
InitVisited(); // 首先初始化visited標誌
DFS(items[0]); // 從第一個頂點開始遍歷
}
/// <summary>
/// 深度優先遍歷演算法
/// </summary>
/// <param name="v">頂點</param>
private void DFS(Vertex<T> v)
{
v.isVisited = true; // 首先將訪問標誌設為true標識為已訪問
Console.Write(v.data.ToString() + " "); // 進行訪問操作：這裡是輸出頂點data
Node node = v.firstEdge;
while (node != null)
{
if (node.adjvex.isVisited == false) // 如果鄰接頂點未被訪問
{
DFS(node.adjvex); // 遞迴訪問node的鄰接頂點
}
node = node.next; // 訪問下一個鄰接點
}
}
深度優先遍歷是一個典型的遞迴過程，這裡也使用了遞迴的方式。
（2）遍歷測試
這裡的測試程式碼構造的圖如下所示：
測試程式碼如下所示：
static void MyAdjacencyListDFSTraverseTest()
{
Console.Write("深度優先遍歷：");
MyAdjacencyList<string> adjList = new MyAdjacencyList<string>();
// 新增頂點
adjList.AddVertex("V1");
adjList.AddVertex("V2");
adjList.AddVertex("V3");
adjList.AddVertex("V4");
adjList.AddVertex("V5");
adjList.AddVertex("V6");
adjList.AddVertex("V7");
adjList.AddVertex("V8");
// 新增邊
adjList.AddEdge("V1", "V2");
adjList.AddEdge("V1", "V3");
adjList.AddEdge("V2", "V4");
adjList.AddEdge("V2", "V5");
adjList.AddEdge("V3", "V6");
adjList.AddEdge("V3", "V7");
adjList.AddEdge("V4", "V8");
adjList.AddEdge("V5", "V8");
adjList.AddEdge("V6", "V8");
adjList.AddEdge("V7", "V8");
// DFS遍歷
adjList.DFSTraverse();
Console.WriteLine();
}
執行結果如下圖所示：
三、廣度優先搜尋遍歷
3.1 廣度優先遍歷原理
圖的廣度優先遍歷演算法是一個分層遍歷的過程，和二叉樹的廣度優先遍歷類似，其基本思想在於：從圖中的某一個頂點Vi觸發，訪問此頂點後，依次訪問Vi的各個為層訪問過的鄰接點，然後分別從這些鄰接點出發，直至圖中所有頂點都被訪問到。
對於上圖所示的無向連通圖，若從頂點V1開始，則廣度優先遍歷的頂點訪問順序是V1→V2→V3→V4→V5→V6→V7→V8。
3.2 廣度優先遍歷實現
（1）實現程式碼
/// <summary>
/// 寬度優先遍歷介面For連通圖
/// </summary>
public void BFSTraverse()
{
InitVisited(); // 首先初始化visited標誌
BFS(items[0]); // 從第一個頂點開始遍歷
}
/// <summary>
/// 寬度優先遍歷演算法
/// </summary>
/// <param name="v">頂點</param>
private void BFS(Vertex<T> v)
{
v.isVisited = true; // 首先將訪問標誌設為true標識為已訪問
Console.Write(v.data.ToString() + " "); // 進行訪問操作：這裡是輸出頂點data
Queue<Vertex<T>> verQueue = new Queue<Vertex<T>>(); // 使用佇列儲存
verQueue.Enqueue(v);
while (verQueue.Count > 0)
{
Vertex<T> w = verQueue.Dequeue();
Node node = w.firstEdge;
// 訪問此頂點的所有鄰接節點
while (node != null)
{
// 如果鄰接節點沒有被訪問過則訪問它的邊
if (node.adjvex.isVisited == false)
{
node.adjvex.isVisited = true; // 設定為已訪問
Console.Write(node.adjvex.data + " "); // 訪問
verQueue.Enqueue(node.adjvex); // 入隊
}
node = node.next; // 訪問下一個鄰接點
}
}
}
和樹的層次遍歷類似，藉助了佇列這一資料結構進行輔助，記錄頂點的鄰接點。
（2）遍歷測試
這裡構造的圖如下所示，跟上面原理中的圖一致：
測試程式碼如下所示：
static void MyAdjacencyListTraverseTest()
{
MyAdjacencyList<string> adjList = new MyAdjacencyList<string>();
// 新增頂點
adjList.AddVertex("V1");
adjList.AddVertex("V2");
adjList.AddVertex("V3");
adjList.AddVertex("V4");
adjList.AddVertex("V5");
adjList.AddVertex("V6");
adjList.AddVertex("V7");
adjList.AddVertex("V8");
// 新增邊
adjList.AddEdge("V1", "V2");
adjList.AddEdge("V1", "V3");
adjList.AddEdge("V2", "V4");
adjList.AddEdge("V2", "V5");
adjList.AddEdge("V3", "V6");
adjList.AddEdge("V3", "V7");
adjList.AddEdge("V4", "V8");
adjList.AddEdge("V5", "V8");
adjList.AddEdge("V6", "V8");
adjList.AddEdge("V7", "V8");
Console.Write("廣度優先遍歷：");
// BFS遍歷
adjList.BFSTraverse();
Console.WriteLine();
}
執行結果如下圖所示：
四、非連通圖的遍歷
以上討論的圖的兩種遍歷方法都是針對無向連通圖的，它們都是從一個頂點觸發就能訪問到圖中的所有頂點。若無方向圖是非連通圖，則只能訪問到初始點所在連通分量中的所有頂點，其他分量中的頂點是無法訪問到的。如下圖所示，V6、V7以及V8三個頂點均訪問不到。為此，需要從其他每個連通分量中選擇初始點，分別進行遍歷，才能夠訪問到圖中的所有頂點。
4.1 非連通圖的深度優先遍歷實現
/// <summary>
/// 深度優先遍歷介面For非聯通圖
/// </summary>
public void DFSTraverse4NUG()
{
InitVisited();
foreach (var v in items)
{
if (v.isVisited == false)
{
DFS(v);
}
}
}
這裡DFS方法跟上面無向連通圖的保持一致。
4.2 非連通圖的廣度優先遍歷實現
/// <summary>
/// 廣度優先遍歷介面For非聯通圖
/// </summary>
public void BFSTraverse4NUG()
{
InitVisited();
foreach (var v in items)
{
if (v.isVisited == false)
{
BFS(v);
}
}
}
這裡BFS方法跟上面無向連通圖的保持一致。
4.3 非連通圖的遍歷測試
構造的圖如上圖所示，測試程式碼如下：
static void MyAdjacencyListTraverseTest()
{
Console.WriteLine("------------非連通圖的遍歷------------");
MyAdjacencyList<string> numAdjList = new MyAdjacencyList<string>();
// 新增頂點
numAdjList.AddVertex("V1");
numAdjList.AddVertex("V2");
numAdjList.AddVertex("V3");
numAdjList.AddVertex("V4");
numAdjList.AddVertex("V5");
numAdjList.AddVertex("V6");
numAdjList.AddVertex("V7");
numAdjList.AddVertex("V8");
// 新增邊
numAdjList.AddEdge("V1", "V2");
numAdjList.AddEdge("V1", "V4");
numAdjList.AddEdge("V2", "V3");
numAdjList.AddEdge("V2", "V5");
numAdjList.AddEdge("V4", "V5");
numAdjList.AddEdge("V6", "V7");
numAdjList.AddEdge("V6", "V8");
Console.Write("深度優先遍歷：");
// DFS遍歷
numAdjList.DFSTraverse4NUG();
Console.WriteLine();
Console.Write("廣度優先遍歷：");
// BFS遍歷
numAdjList.BFSTraverse4NUG();
}
執行結果如下圖所示：
附件下載
本篇實現的圖的遍歷演算法：code.datastructure.graph
參考資料
（1）程傑，《大話資料結構》
（2）陳廣，《資料結構（C#語言描述）》
（3）段恩澤，《資料結構（C#語言版）》
作者：周旭龍
出處：http://edisonchou.cnblogs.com
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