動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。

那它和貪心有區別嗎？

當然有。不然叫動態規劃幹啥？

幼兒園英語老師：DP是啥？

小盆友：Dog&Peppa pig

英語老斯：恩恩！真聰明！

然而，你是小盆友嗎？

如果是

如果不是，

DP是D****** P*******的縮寫。

意思是動態規劃。

聰明的bolt告訴你：是Dynamic Programming的縮寫！！！

動態規劃注重     表示狀態，轉移狀態

 so

講一個栗子：

LIS：

最長上升子序列

這是線性動態規劃中最經典的栗子之一。

最長上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），指一個序列中最長的單調遞增的子序列。

注意不是子串，所以可以不相鄰。

比如說：

序列：3   2   1   4   6   8   7   9

它的LIS是5

3   4   6   8   9

或3   4   6   7   9

或2   4   6   8   9

······

還有很多種情況。

於是我們珂以得出：

動態規劃的最優解，有不同的組合情況，但答案只有一個。

所以，如果NOIP出了動態規劃的題目時，一般會叫你求值，而不是求情況。

這是好處！

BUT，有的老師不會好心，會給更多限制條件，使Ans只有一種情況，那就更有難度了。

LIS問題要用動態規劃做。

方法一：

這是一個好理解的方法。

但是更好使耗時

不難看出，dp [ i ]就是第 i 個數的LIS

那程式碼怎麼實現的呢？

先別急，我們在舉個生活中的栗子。

老師要你算1+2+3+4+5+6+7+8+9=？時，你會算得45，

老師再問你1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？時，你是會用1+···+10，還是用之前算的45+10？

聰明人會用後面一種。

所以，我們根據這個方便的原理，發現我每次計算dp [ i ] 時，如果用到了前面的 dp 值，則會減少一定的計算量。

在我們每次列舉一個數的dp值時，只要掃描在它前面比它小的數，那些比他小的數的dp值的最大值+1就是所求數的dp值

因為比所求數小的數的dp值表示它的LIS，再來一個比它大的數，大樹數的LIS就等於小數的LIS+1.

但由於小數的LIS有大有小，我們又要求最長子序列，我們就要取最大值。

一番思考後，我們找到了狀態轉移方程，也就是動態規劃中最重要的東西：

對於每一個 i ，我們列舉它前面的數 j，if (i > 它前面的數 j )   dp [ i ] = max ( dp [ i ] , dp [ j ] + 1 ) ;

這個演算法的時間複雜度是O(n^2)的，慎用。

code:

 1 int n,a[1001]/*用來存序列*/,dp[1001]/*dp值*/;//陣列大小根據題目而定。
 2 cin>>n;
 3 dp[1]=1;                                   //1的dp值為1
 4 for(int i=1;i<=n;i++)
 5     cin>>a[i];
 6 for(int i=1;i<=n;i++)
 7 {
 8     for(int j=1;j<i;j++)
 9     {
10         if(a[i]>a[j])
11         {
12             dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);      //狀態轉移
13         }
14     }
15 }
16 cout<<dp[n]<<endl;

 注意要初始化dp [ 1 ] = 1.剩下的為 0.

還有另一種時間複雜度為 n log n 的LIS演算法

看，栗子！

2   1   5   3   6   4   6   3 

在 dp 值相同的情況下，保留較小的數顯然更好。因為後面的數若能跟較大的數構成上升子序列，也一定能能較小的數構成上升子序列，反之則不一定。例如 a_3=5 與 a_4=3 的 dp 均為 2，但 a_6=4 不能與 a_3=5 構成上升子序列，而可以和 a_4=3 構成上升子序列。 因此，不同的 dp 值只需要存一個對應的最小值，將這個最小值順序排列，他們一定是升序（嚴格來說是不下降）的。 於是，藉助二分查詢的方式，就可以很快查到更新的值，整體時間複雜度 O(nlogn)。

這個就是上面的一個優化，也沒有太多可講的，自己打一遍程式碼也就熟了。

code：

 1 const int maxn=1e5+5;
 2 int a[maxn];
 3 int n;
 4 int dp[maxn];
 5 int ans=1;
 6 int find(int x){
 7     int l=1,r=ans,m;
 8     while(l<r){
 9         m=l+(r-l)/2;
10         if(dp[m]>=a[x]){
11             r=m;
12         } 
13         else{
14             l=m+1;
15         }
16     }
17     return l;
18 }//二分查詢 
19 int main(){
20     scanf("%d",&n);
21     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
22     dp[1]=a[1];
23     for(int i=2;i<=n;i++){
24         if(a[i]>dp[ans]){
25             dp[++ans]=a[i];
26         }
27         else{
28             int pos=find(i);
29             dp[pos]=a[i];
30         }
31     }
32     printf("%d",ans);
33     return 0;
34 }

這就是LIS問題，希望大家好好理解這個問題，因為他真的狠重要！

今天的分享就到這裡，我們下次見。