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Description

氣泡排序的交換次數被定義為交換過程的執行次數。

小 S 開始專注於研究⻓度為 n 的排列，他想知道，在你運氣足夠好的情況下（即每次氣泡排序的交換次數都是可能的最少交換次數，彷彿有上帝之手在操控），對於一個等概率隨機的長度為n 的排列，進行這樣的氣泡排序的期望交換次數是多少？

Input

從檔案 inverse.in 中讀入資料。
輸入第一行包含一個正整數 T ，表示資料組數。
對於每組資料，第一行有一個正整數，保證 n ≤ 10^7 。

Output

輸出到檔案 inverse.out 中。
輸出共 T 行，每行一個整數。
對於每組資料，輸出一個整數，表示答案對 998244353 取模的結果。

Sample Input

2
2
4

樣例 2
見選手目錄下的 inverse/inverse2.in 與 inverse/inverse2.ans 。

Sample Output

499122177
415935149

Data Constraint

Solution

• 看錯題……找不到規律真是令人心態崩了
• 題目大意是對於一個 $n$
  n 的排列，它的貢獻就是將它交換有序的最少次數，求所有排列的期望次數
• 實在想不出來不妨找規律，如Code1&Code2（求逆元方式不同）
• 找規律的方法我太菜不會證明，那就講另一種方法吧（Code3）
• 設 $f_i$
  f_i 表示前 $i$ 個數的期望次數，考慮將第 $i$ 個數放到哪個位置
• 直接放在第 $i$ 位，無需交換，直接加上 $f_{i-1}$
• 不放在第 $i$ 位，那麼它有 $i-1$ 种放法，另外 $i-1$ 個數有 $(i-1)!$ 種方案
• 所以一共有 $(i-1)*(i-1)!$ 種方案貢獻為 $1$ ，此外，另外 $i-1$ 個數也要交換，產生貢獻 $(i-1)*f_{i-1}$
• （感覺思想上和錯排公式的推導差不多）
• 於是得到遞推式 $f_i=i*f_{i-1}+(i-1)*(i-1)!$
• 預處理一下就好了

線性求逆元

Code 1

#include<algorithm>
#include<cstdio>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ll long long

using namespace std;

const ll N=1e7,P=998244353;
ll T,n,ny[N+5],sum[N+5];

ll ksm(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;a=a*a%P,b>>=1)
		if(b&1) s=s*a%P;
	return s;
}

int main()
{
	freopen("inverse.in","r",stdin);
	freopen("inverse.out","w",stdout);
	ny[0]=ny[1]=sum[1]=1;
	fo(i,2,N)
	{
		ny[i]=P-(P/i)*ny[P%i]%P;//線性求逆元
		sum[i]=(sum[i-1]+ny[i])%P;
	}
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		ll ans=((n-sum[n])%P+P)%P;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

Code 2

copy from ZZ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 10000010
#define mo 998244353
#define m 10000000
#define ll long long
using namespace std;
int n,jc[N],f[N],ny[N];
ll ans=0;
ll mi(ll a,ll b)
{
	ll c=1;
	for(;b;b/=2,a=a*a%mo) if(b%2==1) c=c*a%mo;
	return c;
}
int main()
{
	freopen("inverse.in","r",stdin);
	freopen("inverse.out","w",stdout);
	int ac;scanf("%d",&ac);
	jc[0]=1;fo(i,1,m) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mo;
	ny[m]=mi(jc[m],mo-2);
	fd(i,m-1,1) ny[i]=1ll*ny[i+1]*(i+1)%mo;
	fo(i,1,m) 
	f[i]=(f[i-1]+1ll*ny[i]*jc[i-1]%mo)%mo;//差分求逆元
	while(ac--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",(n-f[n]+mo)%mo);
	}
}

Code 3

copy from LZH

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+10,mo=998244353;
ll ny[N],f[N];
ll pow(ll x,int y){
	ll s=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if(y&1) s=s*x%mo;
	return s;
}
int main()
{
	freopen("inverse.in","r",stdin);
	freopen("inverse.out","w",stdout);
	ll s=1;
	f[1]=0;
	fo(i,2,N-10){
		f[i]=(f[i-1]*i%mo+s*(i-1)%mo)%mo;
		s=s*i%mo;
	}
	ny[N-10]=pow(s,mo-2);
	fd(i,N-11,0) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mo;
	fo(i,1,N-10) f[i]=f[i]*ny[i]%mo;
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
}