【演算法詳解】二維動態規劃

阿新 • • 發佈：2018-11-08

馬攔過河卒

原題傳送門
這一到題目也是比較基礎的動態規劃，也可以理解為是遞推，主要是運用加法原理，思維難度不大。我們要求從 $（0，0）$ 到 $（$

n，n）" role="presentation">

（ n ， n ）

$（n，n）$ 的方案總數，如果沒有馬的話，我們可以這麼做：
設

f [i] [j]

$f[i][j]$ 為從

（ 0 ， 0 ）

$（0，0）$ 走到

（ i ， j ）

$（i，j）$ 的方案總數，我們知道一定是有上面和左邊走來，所以只需要累加上面和左邊的方案數即可。我們得出：

f [i] [j] = f [i - 1] [j] + f [i] [j - 1] （ f [0] [0... m] = f [0... n] [0] = 1)

$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]（f[0][0...m]=f[0...n][0]=1)$
我們來思考一下馬的問題：
1.當馬攔住了

（ 0 ， 0... m ）

$（0，0...m）$ 或

（ 0... n, 0)

$（0...n,0)$ 的時候，攔住的且後面的必然走不到，所以停止賦值
2.如果馬攔住了

（ x ， y ）

$（x，y）$

（ x \neq 0 ， y \neq 0 ）

$（x≠0，y≠0）$ ，則不進行狀態轉移即可
程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int B1,B2,H1,H2;
    cin>>B1>>B2>>H1>>H2;
    int Vis[20][20]={};
    int dx[9]={0,2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
    int dy[9]={0,1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
    for (int i=1;i<=9;i++)
    {
        int H3=H1+dx[i];
        int H4=H2+dy[i];
        if (H3>=0&&H4>=0) 
            Vis[H3][H4]=1;
    }
    int Find[20][20]={};
    for (int i=0;i<=B2;i++)
        if (Vis[0][i]==0)
            Find[0][i]=1;
        else
        {
            for (int j=i;j<=B2;j++)
                Vis[0][j]==1;
            break;
        }
    for (int i=0;i<=B1;i++)
        if (Vis[i][0]==0)
            Find[i][0]=1;
        else
        {
            for (int j=i;j<=B1;j++)
                Vis[j][0]=1;
                break;
        }
    for (int X=1;X<=B1;X++)
        for (int Y=1;Y<=B2;Y++)
            if (Vis[X][Y]==0)
                Find[X][Y]=Find[X-1][Y]+Find[X][Y-1];
    cout<<Find[B1][B2];
    return 0;
}

農田個數

題目描述

你的老家在農村。過年時，你回老家去拜年。你家有一片N×MN×M農田，將其看成一個N×MN×M的方格矩陣，有些方格是一片水域。你的農村伯伯聽說你是學計算機的，給你出了一道題：他問你：這片農田總共包含了多少個不存在水域的正方形農田。
兩個正方形農田不同必須至少包含下面的兩個條件中的一條：
1 邊長不相等
2 左上角的方格不是同一方格

輸入格式

輸入資料第一行為兩個由空格分開的正整數N、M（1<=m< n <=1000）
第2行到第N+1行每行有M個數字（0或1），描述了這一片農田。0表示這個方格為水域，否則為農田（注意：數字之間沒有空格，而且每行不會出現空格）

輸出格式

滿足條件的正方形農田個數。

樣例資料

input

3 3
110
110
000

output

5
樣例解釋邊長為1的正方形農田有4塊邊長為2的正方形農田有1塊合起來就是5塊

資料規模與約定

時間限制：1s
空間限制：256MB

求多少個正方形，我們設 $F[i][j]$ 為以 $（i，j）$ 為右下角的正方形個數。如果你畫過圖，就能夠發現：右下角的個數就是以這個點右下角的最大正方形，因為大正方形包含了無數個小正方形，基於正方形的特殊性，我就不難知道這一個性質。然後我們就去考慮，如何去轉移，再通過畫圖可以發現：這個點所能形成的最大正方形與左邊的點，左上角的點和上面的點所能形成的最大正方形的個數的最小值有關，也就是 $min(F[i-1][j],F[i][j-1],F[i-1][j-1])$ 。那麼這個數值具體是多少呢？就是這個數值 $+1$ ；即在原來形成的正方形的基礎上加上了這個右下角。因此，我們可以得到：

F [i] [j] = m i n (F [i - 1] [j], F [i] [j - 1], F [i - 1] [j - 1]) + 1

$F[i][j]=min(F[i-1][j],F[i][j-1],F[i-1][j-1])+1$
程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans=0;
int F[5000][5000];
char a[5000][5000];
inline int Min(int a,int b,int c)
{
    return min(min(a,b),c);
}
int main()
{ 
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            cin>>a[i][j];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if (a[i][j]=='1') 
                F[i][j]=Min(F[i-1][j],F[i][j-1],F[i-1][j-1])+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            ans+=F[i][j];
    cout<<ans<<endl;
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}

矩陣切割

題目描述
給你一個矩陣，其邊長均為整數。你想把矩陣切割成總數最少的正方形，其邊長也為整數。切割工作由一臺切割機器完成，它能沿平行於矩形任一邊的方向，從一邊開始一直切割到另一邊。對得到的矩形再分別進行切割。
輸入格式
輸入檔案中包含兩個正整數，代表矩形的邊長，每邊長均在1—100之間。
輸出格式
輸出檔案包含一行，顯示出你的程式得到的最理想的正方形數目。
樣例資料
input
5 6
output
5

求什麼設什麼，設 $F[i][j]$ 為 $(i,j)$ 所能組成的最少正方形，那麼必然可以得到初值： $F[i][i]=1(i=min(n,m)).$ 同樣，我們應該如何去得到呢， $1...i,1...j$ 的矩形其實就是若干個小的矩形矩形得到，因此我們只需要在若干個小矩形和中求最小值即可。即：

f [i] [j] = m a x {\begin{cases} F [i] [k] + F [i] [j - k], k = 1... m / 2 \\ F [k \end{cases}

【演算法詳解】二維動態規劃

馬攔過河卒

農田個數

題目描述

輸入格式

輸出格式

樣例資料

input

output

資料規模與約定

矩陣切割

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樣例資料

input

output

資料規模與約定

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