原博地址：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

                 http://blog.csdn.net/ljyljyok/article/details/77905681

    證明：   http://blog.csdn.net/waltonhuang/article/details/52032463

最長公共子序列問題是一個經典的電腦科學問題，也是資料比較程式，比如Diff工具，和生物資訊學應用的基礎。它也被廣泛地應用在版本控制，比如Git用來調和檔案之間的改變。

對於任意數量的序列的LCS問題屬於NP-hard，但對於兩個已知長度（m、n）的序列，可以用動態規劃的思想在多項式時間內解決。

假設兩個字串一個為A[n]，另一個為B[m]，引入二維陣列c[  ][  ]，用c[ i ][ j ]記錄A[ i ]與A[ j ]的LCS長度，那麼c[ i ][ j ]的遞推公式為：

if(i==0||j==0)
    c[i][j] = 0;        //邊界初始化
else if(A[i]==B[j])     //子串的最後一個字元相等
    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;    //LCS的長度必然要比去掉這個相等的字元時的子串的LCS長度大1
else                    //子串的最後一個字元不相等
    c[i][j] = max( c[i-1][j] , c[i][j-1] );    //LCS的長度必然 大於等於 去掉A中最後一個字元或去掉B中最後一個字元時的子串的LCS的長度
 

這個狀態轉移方程的證明如下：（轉載自http://blog.csdn.net/waltonhuang/article/details/52032463）

• 當A[i] == B[j]時 
  顯然，由於兩個字串的最後一位相同，S[i][j]的長度應該比S[i-1][j-1]大1.

• 當A[i] != B[j]時 
  結論是：c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])

  • 證明:

    1. 顯然，由於添加了一個字元，c[i][j] 肯定大於等於c[i-1][j]，也肯定大於等於c[i][j-1]。

    2. 但是，c[i][j] 不能同時大於 c[i-1][j]和c[i][j-1]。 
       反證法： 
       1.1. 如果c[i][j] > c[i-1][j]

       ，說明S[i][j]的最後一位是A[i]。（因為多了A[ i ]這個字元之後，最長公共子序列的長度多了1，所以多出來的這一位就是A[ i ]！） 
       1.2. 同理，如果c[i][j] > c[i][j-1]，說明S[i][j]的最後一位是B[j]。 
       1.3. 那麼如果c[i][j] 同時大於 c[i-1][j]和c[i][j-1]，說明S[i][j]的最後一位既是A[i]，也是B[j]。那麼A[i]就與B[j]相同了！矛盾了！所以反證出： c[i][j] 不能同時大於 c[i-1][j]和c[i][j-1]。

然後排表如下圖所示：（計算順序是從i=1到i=7，以及j=1到j=6的）

可以看到，最右下角的c[7][6] = 4就是要求的LCS的值了。

程式碼如下：

class LCS {
public:
    int findLCS(string A, int n, string B, int m) {
        // write code here
        int c[n+1][m+1];
        int i,j;
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;++i){    // i=0或j=0預設初始化為0
            for(j=1;j<=m;++j){
                if(A[i-1]==B[j-1])
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                else
                    c[i][j] = max(c[i-1][j],c[i][j-1]);
            }
        }
        return c[n][m];
    }
};

如果要求輸出這個最長公共子序列，則需要通過陣列c進行回溯：

    string lcstr;
    i = n;    //將i、j下標落到陣列c的末尾元素上。
    j = m;
    while (i != 0 && j != 0)
    {
        if (A[i] == B[j]) {   //將相同的子元素壓棧。然後指標前移，直到i、j指向0終止(因為任何字串 與0 求公共子序列，都是0)
            lcstr.push_back(A[i]);
            --i;
            --j;
        }
        else { //若二者不相等，而最長公共子序列一定是由LCS（c[i][j-1] or c[i-1][j]）的較大者得來，故將較大者的指標前移，接著遍歷。
            if (c[i][j - 1] > c[i - 1][j]) {
                --j;        //將當前列前移到j-1列
            }
            else { // if(c[i][j - 1] <= c[i - 1][j])
                --i;
            }
        }
    }
    //求LCS（之一）
    reverse(lcstr.begin(), lcstr.end());