最長公共子序列（LCS）：

這同樣是一道經典題目，定義就不說了。

為了方便說明，我們用X_i代表{x₁,x_2,‥x_i},用Y_j代表{y₁,y₂,‥y_j}。那麼，求長度分別為m，n的兩個序列X,Y的LCS就相當於求Xm與Yn的LCS。我們將其分割為區域性問題進行分析。

首先，求Xm與Yn的LCS要考慮一下兩種情況。

Ⅰ.

 x_m=y_n時，在X_m-1與Y_n-1的LCS後面加上x_m(=y_n)就是X_m與Y_n的LCS。

舉個例子，X={a,b,c,c,d,a}, Y={a,b,c,b,a} 時x_m=y_n，所以在X_m-1與Y_n-1的LCS({a,b,c} )後面加上 x_m(=a)就是X_m

Ⅱ.

x_m≠y_n時，X_m-1與Y_n的LCS和X_m與Y_n-1的LCS中更長的一方就是X_m與Y_n的LCS。

舉個例子，X={a,b,c,c,d,a}, Y={a,b,c,b,a} 時x_m=y_n，所以在X_m-1與Y_n的LCS為{a,b,c} ，Xm-1與Yn的LCS為{a,b,c,b},因此Xm-1與Yn的LCS就是X_m與Y_n的LCS。

定義：

c[i][j]：為X_i與Y_j的LCS的長度。

於是c[i][j]的值可由一下遞推關係求得：

程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const
 
 int maxn = 1000005;
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    int a = s1.size(), b = s2.size();
    for (int i = 0; i < a; i++)
    {
        for (int j = 0; j < b; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1
 
;
            else
                dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]);
        }
    }
    cout << dp[a][b];
    return 0;
}

最長公共子串：

字串要求是連續的子序列，根據上面子序列的遞推公式，因此我們可以稍微改一下遞推公式，得到如下的遞推關係：

程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10005;
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    int a = s1.size(), b = s2.size();
    for (int i = 0; i < a; i++)
    {
        for (int j = 0; j < b; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
            else
                dp[i + 1][j + 1] = 0;
        }
    }
    cout << dp[a][b];
    return 0;
}

如果有什麼不對的地方，歡迎大家指出哦（雖然知道沒什麼人看，但還是要說一下）。