一、題目

所謂迴文字串，就是一個字串，從左到右讀和從右到左讀是完全一樣的，比如 “a”、“aba”、“abba”。

對於一個字串，其子串是指連續的一段子字串，而子序列是可以非連續的一段子字串。

最長迴文子串 和 最長迴文子序列（Longest Palindromic Subsequence）是指任意一個字串，它說包含的長度最長的迴文子串和迴文子序列。

例如：字串 “ABCDDCEFA”，它的 最長迴文子串 即 “CDDC”，最長迴文子序列 即 “ACDDCA”。

二、最長迴文子串

1. 思路

首先這類問題通過窮舉的辦法，判斷是否是迴文子串並再篩選出最長的，效率是很差的。我們使用 動態規劃 的策略來求解它。首先我們從子問題入手，並將子問題的解儲存起來，然後在求解後面的問題時，反覆的利用子問題的解，可以極大的提示效率。

由於最長迴文子串是要求連續的，所以我們可以假設 j 為子串的起始座標，i 為子串的終點座標，其中 i 和 j 都是大於等於 0 並且小於字串長度 length 的，且 j <= i，這樣子串的長度就可以使用 i - j + 1 表示了。

我們從長度為 1 的子串依次遍歷，長度為 1 的子串肯定是迴文的，其長度就是 1；然後是長度為 2 的子串依次遍歷，只要 str[i] 等於 str[j] ，它就是迴文的，其長度為 2；接下來就好辦了，長度大於 2 的子串，如果它要滿足是迴文子串的性質，就必須有 str[i] 等於 str[j] ，並且去掉兩頭的子串 str[j+1 ... i-1] 也一定是迴文子串，所以我們使用一個數組來儲存以 j

2. 程式碼

public class Main {
  
    public static void main(String[] args) {
        String s = "cabbaeeaf";
        System.out.println(getLPS(s));
    }
      
    public static String getLPS(String s) {
        char
 
[] chars = s.toCharArray();
        int length = chars.length;
        // 第一維引數表示起始位置座標，第二維引數表示終點座標
        // lps[j][i] 表示以 j 為起始座標，i 為終點座標是否為迴文子串
        boolean[][] lps = new boolean[length][length];
        int maxLen = 1; // 記錄最長迴文子串最長長度
        int start = 0; // 記錄最長迴文子串起始位置
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (i - j < 2) {
                    // 子字串長度小於 2 的時候單獨處理
                    lps[j][i] = chars[i] == chars[j];
                } else {
                    // 如果 [i, j] 是迴文子串，那麼一定有 [j+1, i-1] 也是回子串
                    lps[j][i] = lps[j + 1][i - 1] && (chars[i] == chars[j]);
                }
                if (lps[j][i] && (i - j + 1) > maxLen) {
                    // 如果 [i, j] 是迴文子串，並且長度大於 max，則重新整理最長迴文子串
                    maxLen = i - j + 1;
                    start = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(start, start + maxLen);
    }
      
}

三、最長迴文子序列

1. 思路

子序列的問題將比子串更復雜，因為它是可以不連續的，這樣如果窮舉的話，問題規模將會變得非常大，我們依舊是選擇使用 動態規劃 來解決。

首先我們假設 str[0 ... n-1] 是給定的長度為 n 的字串，我們使用 lps(0, n-1) 表示以 0 為起始座標，長度為 n-1 的最長迴文子序列的長度。那麼我們需要從子問題開始入手，即我們一次遍歷長度 1 到 n-1 的子串，並將子串包含的 最長迴文子序列的長度 儲存在 lps 的二維陣列中。

遍歷過程中，迴文子序列的長度一定有如下性質：

• 如果子串的第一個元素 str[j] 和最後一個元素 str[i+j] 相等，那麼 lps[j, i+j] = lps[j+1, i+j-1] + 2，其中 lps[j+1, i+j-1] 表示去掉兩頭元素的最長子序列長度。
• 如果兩端的元素不相等，那麼lps[j, i+j] = max(lps[j][i+j-1], lps[j+1][i+j])，這兩個表示的分別是去掉末端元素的子串和去掉起始元素的子串。

2. 程式碼

public class Main {
 
    public static void main(String[] args) {
        String s = "cabbeaf";
        System.out.println(getLPS(s));
    }
     
    public static int getLPS(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int length = chars.length;
        // 第一維引數表示起始位置的座標，第二維引數表示長度，使用 0 表示長度 1
        int[][] lps = new int[length][length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            lps[i][i] = 1; // 單個字元的最長迴文子序列長度為1，特殊對待一下
        }
        // (i + 1) 表示當前迴圈的子字串長度
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            // j 表示當前迴圈的字串起始座標
            for (int j = 0; i + j < length; j++) {
                // 即當前迴圈的子字串座標為 [j, i + j]
                // 所以第一個字元是 chars[j]，最後一個字元就是 chars[i + j]
                if (chars[j] == chars[i + j]) {
                    lps[j][i + j] = lps[j + 1][i + j - 1] + 2;
                } else {
                    lps[j][i + j] = Math.max(lps[j][i + j - 1], lps[j + 1][i + j]);
                }
            }
        }
        // 最大值一定在以0為起始點，長度為 length - 1 的位置
        return lps[0][length - 1];
    }
     
}

最後，這題只返回了最長迴文子序列的長度，一般面試題中也只是要求返回長度即可。但是如果你也想知道最長迴文子序列具體是啥，這可以額外新增一個變數記錄最長迴文子序列是哪些字元，例如維護一個鍵為 lps[j][i + j]，值為 String 的 map。