動態規劃之最長遞增子序列 最長不重複子串 最長公共子序列
【前言】動態規劃：與分治法相似，即通過組合子問題來求解原問題，不同的是分治法是將問題劃分為互不相交的子問題，遞迴求解子問題，再將他們組合起來求出原問題的解。
動態規劃則應用於子問題重疊的情況，通常用來求解最優化問題。這類問題可以有很多可行解，每個解都有一個值，我們希望尋找最優值的解。
通常有4個步驟來設計動態規劃演算法：
1.刻畫一個最優解的結構特徵。
2.遞迴地定義最優解的值。
3.計算最優解的值，通過採用自底向上的方法。
4.利用計算出的資訊構造一個最優解。
【問題1】最長遞增子序列問題
【問題描述】設L=<a1,a2,…,an>是n個不同的實數的序列，L的遞增子序列是這樣一個子序列Lin=<ak1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
採用一個數組temp[]儲存 以當前元素結尾的最長遞增子序列長度，最後求出全域性最優解
更新最長遞增子序列的條件：a[i]>a[j] (i>j) 且前一個遞增序列長度大於等於當前遞增序列長度
【改進】考慮到在計算每個temp[i]時都要找到最大的，由於陣列無序，所以每次都需要順序查詢。可以讓陣列有序那麼就可以使用二分查詢，從而演算法複雜度就可以降到O(NlogN)。可以採用一個數組儲存最大遞增子序列的最末元素：即：B[ temp[j] ]=aj。//動態規劃過程是：每次決策依賴於當前狀態，又隨即引起狀態的轉移。 //最長遞增子序列O(N^2) public void longestIncreasingSubsequence2(int[] a){ int[] temp=new int[a.length]; temp[0]=1; int max=0; for(int i=1;i<a.length;i++){ temp[i]=1; for(int j=0;j<i;j++){ if(a[i]>a[j]&&temp[i]<=temp[j]){//找出最大的temp[j](前一個最長遞增子序列長度)temp[i]<=temp[j] temp[i]=temp[j]+1;//更新最長遞增子序列長度 } } max=Math.max(temp[i], max); } System.out.println(max); }
在陣列B中用二分查詢法找到滿足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,並將B[f[j]+1]置為ai。
【TreeSet解法】treeSet底層是使用紅黑樹實現，因此可以按照值的升序進行排序。//O(NlogN)解法 public void longestIncreasingSubsequence(int[] a){ /* * 在計算每一個f(i)時，都要找出最大的f(j)(j<i)來，由於f(j)沒有順序，只能順序查詢滿足aj<ai最大的f(j)， * 如果能將讓f(j)有序，就可以使用二分查詢，這樣演算法的時間複雜度就可能降到O(nlogn)。 * 於是想到用一個 * 陣列B來儲存“子序列的”最大遞增子序列的最末元素， * 即有B[f(j)] = aj * 在計算f(i)時，在陣列B中用二分查詢法找到滿足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,並將B[f[j]+1]置為ai。 */ int[] temp=new int[a.length+1]; temp[0]=-100; temp[1]=a[0]; int Len=1; int p,r,m;//p,r,m分別為二分查詢的上界，下界和中點； for(int i = 1;i<a.length;i++) { p=0;r=Len; while(p<=r)//二分查詢最末元素小於ai+1的長度最大的最大遞增子序列； { m = (p+r)/2; if(temp[m]<a[i]) p = m+1; else r = m-1; } temp[p] = a[i];//將長度為p的最大遞增子序列的當前最末元素置為ai+1; if(p>Len) Len++;//更新當前最大遞增子序列長度； } System.out.println(Len); }
set.ceiling(i)返回set集合中比i大的最小元素。 public int lengthOfLIS2 (int[] nums) {
/*
* TreeSet是一個有序集合，TreeSet中的元素將按照升序排列，預設是按照自然排序進行排列，
* 意味著TreeSet中的元素要實現Comparable介面。或者有一個自定義的比較器。
* 我們可以在構造TreeSet物件時，傳遞實現Comparator介面的比較器物件。
*/
TreeSet<Integer> set = new TreeSet<>();
for(int i : nums) {
//Returns the least element in this set greater than or equal to the given element,
//or null if there is no such element.
Integer ceil = set.ceiling(i);
if(null != ceil) {
set.remove(ceil);
}
set.add(i);
}
return set.size();
}【問題2】最長不重複子串問題
【問題描述】Given a string, find the length of the longest substring without repeating characters.
搜尋過程如下：記錄上一次最長子串起始位置last，然後進行下一次搜尋。比較得到最長不重複子串
public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
if(s.length()==0||s.length()==1)
return s.length();
char[] sArr=s.toCharArray();
int last=0;
int result=-1;
int[] dp=new int[sArr.length];
dp[0]=1;
for(int i=1;i<sArr.length;i++){
for(int j=i-1;j>=last;j--){
if(sArr[i]==sArr[j]){
last=j+1;//更新上一次最長子串起始位置
dp[i]=i-j;//最長不重複子串
break;
}else if(j==last){
dp[i]=dp[i-1]+1;//都不重複則更新最長不重複子串
}
}
result=Math.max(dp[i], result);
}
return result;
}【問題3】兩個序列的最長公共子序列
既然是經典的題目肯定是有優化空間的，並且解題方式是有固定流程的，這裡我們採用的是矩陣實現，也就是二維陣列，用來LCS的長度。
第一步：先計算最長公共子序列的長度。
第二步：根據長度，然後通過回溯求出最長公共子序列。
現有兩個序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，
設一個C[i,j]: 儲存Xi與Yj的LCS的長度。
遞推方程為：
//最長公共子序列
public int LCS(int[] a,int[] b){
int[][] temp=new int[a.length+1][b.length+1];
int result=0;int dp=0;
for(int i=1;i<=a.length;i++)
temp[i][0]=0;
for(int j=0;j<=b.length;j++)
temp[0][j]=0;
for(int k=1;k<=a.length;k++){
for(int l=1;l<=b.length;l++){
if(a[k-1]==a[l-1])
temp[k][l]=temp[k-1][l-1]+1;
else if(temp[k][l-1]<=temp[k-1][l])
temp[k][l]=temp[k][l-1];
else
temp[k][l]=temp[k-1][l];
result=Math.max(temp[k][l], result);
}
}
return result;
}【總結】以上就是常見動態規劃問題，關鍵就是把問題分解為若干子問題，找到決策條件，然後進行更新，從而得到問題的最優解。