1.基本概念

      首先需要科普一下，最長公共子序列（longest common sequence）和最長公共子串（longest common substring）不是一回事兒。什麼是子序列呢？即一個給定的序列的子序列，就是將給定序列中零個或多個元素去掉之後得到的結果。什麼是子串呢？給定串中任意個連續的字元組成的子序列稱為該串的子串。給一個圖再解釋一下：

       如上圖，給定的字元序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列示例： {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉後，保持原有的元素序列所得到的結果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。
       它的字串示例：{c,d,e,f} 即連續元素c,d,e,f組成的串是給定序列的字串。同理，{a,b,c,d},{g,h}等都是它的字串。

        這個問題說明白後，最長公共子序列（以下都簡稱LCS）就很好理解了。
給定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}，s1和s2的相同子序列，且該子序列的長度最長，即是LCS。
s1和s2的其中一個最長公共子序列是 {3,4,6,7,8}

2.動態規劃

       求解LCS問題，不能使用暴力搜尋方法。一個長度為n的序列擁有 2的n次方個子序列，它的時間複雜度是指數階，太恐怖了。解決LCS問題，需要藉助動態規劃的思想。
       動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每一個解都對應於一個值，我們希望找到具有最優值的解。動態規劃演算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。

3.特徵分析

       解決LCS問題，需要把原問題分解成若干個子問題，所以需要刻畫LCS的特徵。

       設A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質：
       如果am=bn，則zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一個最長公共子序列；
       如果am!=bn，則若zk!=am，蘊涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一個最長公共子序列；
       如果am!=bn，則若zk!=bn，蘊涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一個最長公共子序列。

       有些同學，一看性質就容易暈菜，所以我給出一個圖來讓這些同學理解一下：

       以我在第1小節舉的例子（S1={1,3,4,5,6,7,7,8}和S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}），並結合上圖來說：

       假如S1的最後一個元素 與 S2的最後一個元素相等，那麼S1和S2的LCS就等於 {S1減去最後一個元素} 與 {S2減去最後一個元素} 的 LCS  再加上 S1和S2相等的最後一個元素。

       假如S1的最後一個元素 與 S2的最後一個元素不等（本例子就是屬於這種情況），那麼S1和S2的LCS就等於 ： {S1減去最後一個元素} 與 S2 的LCS， {S2減去最後一個元素} 與 S1 的LCS 中的最大的那個序列。

4.遞迴公式

        第3節說了LCS的特徵，我們可以發現，假設我需要求 a1 ... am 和 b1 .. b(n-1)的LCS 和 a1 ... a(m-1) 和 b1 .. bn的LCS，一定會遞迴地並且重複地把如a1... a(m-1) 與 b1 ... b(n-1) 的 LCS 計算幾次。所以我們需要一個數據結構來記錄中間結果，避免重複計算。

        假設我們用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的長度（直接儲存最長公共子序列的中間結果不現實，需要先借助LCS的長度）。其中X = {x1 ... xm}，Y ={y1...yn}，Xi = {x1 ... xi}，Yj={y1... yj}。可得遞迴公式如下：

5.計算LCS的長度

       這裡我不打算貼出相應的程式碼，只想把這個過程說明白。還是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}為例。我們借用《演算法導論》中的推導圖：

         圖中的空白格子需要填上相應的數字（這個數字就是c[i,j]的定義，記錄的LCS的長度值）。填的規則依據遞迴公式，簡單來說：如果橫豎（i,j）對應的兩個元素相等，該格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化該表：

          然後，一行一行地從上往下填：

          S1的元素3 與 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。繼續填充：

            S1的元素3 與 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，圖中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色為淺黃色。

            繼續填充：

               中間幾行填寫規則不變，直接跳到最後一行：

                至此，該表填完。根據性質，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的長度，即為5。

6.構造LCS

       本文S1和S2的最LCS並不是只有1個，本文並不是著重講輸出兩個序列的所有LCS，只是介紹如何通過上表，輸出其中一個LCS。

       我們根據遞迴公式構建了上表，我們將從最後一個元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。

       c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值來源於c[8][8]的值(因為c[8][8] > c[7][9])。

       c[8][8] = 5,  且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值來源於 c[7][7]。

       以此類推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 這種存在分支的情況，這裡請都選擇一個方向（之後遇到這樣的情況，也選擇相同的方向）。

       第一種結果為：

          這就是倒推回去的路徑，棕色方格為相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}，這是其中一個結果。

          如果如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 這種存在分支的情況，選擇另一個方向，會得到另一個結果。

           即LCS ={3,5,7,7,8}。

7.關於時空複雜度

        構建c[i][j]表時間需要Θ(mn)，空間需要n^2，輸出1個LCS的序列需要Θ(m+n)。

8.程式程式碼如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 100010;
int s1[MAX_N];
int s2[MAX_N];
int lcs[10000][10000];
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d",&s1[i]);
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d",&s2[i]);
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0;j < n; j++){
            if(i == 0 || j == 0){
                lcs[i][j] = 0;
            }
            if(s1[i] == s2[j]){
                lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1;
            }
            else{
                lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",lcs[n-1][n-1]);
    return 0;
} 

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