c[i][j] 用來表示 x[i] 和y[j] 的LCS 長度

對c[i][j]，

若i = 0或j = 0，則c[i][j] = 0， 兩個原序列有一個為空，則沒有LCS；

若i,j > 0 且x[i] = y[j]，則c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；

若i,j > 0 且x[i] != y[j]，則c[i][j] = max(c[i,j-1], c[i-1,j])

<?php
$x = array('A','B','C','B','D','A','B');
$y = array('B','D','C','A','B','A');
$c = lcsLength($x, $y);
//var_dump($c);
printLcs($c, $x, $y, count($x), count($y));

function lcsLength($x, $y){
    $m = count($x);
    $n = count($y);
    $c = array();
    
    for ($i = 0; $i <= $m; $i++){
        $c[$i][0] = 0;
    }
    for ($j = 0; $j <= $n; $j++){
        $c[0][$j] = 0;
    }
    
    $i = 1;
    while ($i <= $m) {
    	$j = 1;
        while ($j <= $n) {
            if($x[$i-1] == $y[$j-1]){
                $c[$i][$j] = $c[$i - 1][$j - 1] + 1;
            }else if ($c[$i - 1][$j] >= $c[$i][$j - 1]){
            	$c[$i][$j] = $c[$i - 1][$j];
			}else{
				$c[$i][$j] = $c[$i][$j - 1];
			}
			$j++;
        }
        $i++;
    }
    return $c;
}

function printLcs($c, $x, $y, $i, $j){
	if($i == 0 || $j == 0)
		return;
	if($x[$i - 1] == $y[$j - 1]){
		printLcs($c, $x, $y, $i-1, $j-1);
		echo $x[$i - 1];
	}elseif ($c[$i - 1][$j] >= $c[$i][$j - 1]){
		printLcs($c, $x, $y, $i-1, $j);
	}else{
		printLcs($c, $x, $y, $i, $j-1);
	}
}
 

拓展：最長迴文子序列的動態規劃演算法

實際上求最長迴文子序列即是求字串與其倒序的LCS，狀態轉移方程式為：

對給定x[0...n-1] 有dp[i][j]表示其最長迴文子序列的值，i指向字串頭，j指向尾

若i=j，則dp[i][j] = 1;

若x[i] = x[j]，dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;

若x[i] != x[j]，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);