本文參考了《程式設計之美》、LeetCode中文題解以及部落格
https://blog.csdn.net/George__Yu/article/details/75896330 (LIS)
https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482 （LCS）
https://blog.csdn.net/SongBai1997/article/details/81866559（LCS）
特此感謝！

一、最長遞增子序列

問題描述

求一個給定序列中最長的遞增子序列的長度。
比如，對於序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。這些子序列中最長的長度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

方法一：動態規劃

時間複雜度：O(n^2)
思路：
狀態設計：F[i]代表以A[i]結尾的LIS的長度
狀態轉移：F[i]=max{F[j]+1}(1<=j< i,A[j]< A[i])
邊界處理：F[i]=1(1<=i<=n)

程式碼:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using
 
 namespace std;

const int maxn = 103,INF=0x7F7F7F;
int a[maxn],dp[maxn];

int n,ans = -INF;

int main()
{
    while(scanf("%d",&n) !=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            //初始值為1，即以i結尾的LIS子序列長度至少為1
            dp[i] = 1;
        }

        for
 
(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
    //要求以a[x]結尾的最長遞增子序列長度，我們依次比較a[x]與之前所有的a[i](i<x)
                if(a[j]<a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }

         for(int i=1;i<=n;++i)
            ans = max(ans,dp[i]);

        printf("%d\n",ans);
    }
}

/*
6
1 4 3 2 6 5
*/

方法二：貪心+二分

時間複雜度：O(n^2)
思路：
新建一個low陣列，low[i]表示長度為i的LIS結尾元素的最小值。對於一個上升子序列，顯然其結尾元素越小，越有利於在後面接其他的元素，也就越可能變得更長。
因此，我們只需要維護low陣列：
1）追加low陣列
對於每一個a[i]，如果a[i] > low[當前最長的LIS長度]，就把a[i]接到當前最長的LIS後面，即low[++當前最長的LIS長度]=a[i]。
2）更新low陣列
對於每一個a[i]，如果a[i]能接到LIS後面，就接上去；否則，就用a[i]取更新low陣列。
具體方法是：
在low陣列中找到第一個大於等於a[i]的元素low[j]，用a[i]去更新low[j]。如果從頭到尾掃一遍low陣列的話，時間複雜度仍是O(n^2)。我們注意到low陣列內部一定是單調不降的，所有我們可以二分low陣列，找出第一個大於等於a[i]的元素。二分一次low陣列的時間複雜度的O(lgn)，所以總的時間複雜度是O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn =300003,INF=0x7f7f7f7f;
int low[maxn],a[maxn];
int n,ans;
int binary_search(int *a,int r,int x)
//二分查詢，返回a陣列中第一個>=x的位置 
{
    int l=1,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid]<=x)
            l=mid+1;
        else 
            r=mid-1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]); 
        low[i]=INF;//由於low中存的是最小值，所以low初始化為INF 
    }
    low[1]=a[1]; 
    ans=1;//初始時LIS長度為1 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>=low[ans])//若a[i]>=low[ans]，直接把a[i]接到後面 
            low[++ans]=a[i];
        else //否則，找到low中第一個>=a[i]的位置low[j]，用a[i]更新low[j] 
            low[binary_search(low,ans,a[i])]=a[i];
    }
    printf("%d\n",ans);//輸出答案 
    return 0;
}

二、最長公共子序列

問題描述

求兩字元序列的最長公共字元子序列
例如，字串s1=mzjawxu,s2=xmjyauz,仔細分析下，大體可以看出最長公共子序列是mjau。

程式碼

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;




//公共子序列(非連續)
int dp[1000][1000];
int LcsNotContinus(string x,string y)
{
    for(int i=0;i<=x.length();i++)
      for(int j=0;j<=y.length();j++)
        if(i==0||j==0)
          dp[i][j]=0;
        else if(x[i-1]==y[j-1])
          dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
        else
          dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

    return dp[x.length()][y.length()];
}


//公共子串(連續)
int LcsContinus(string x,string y)
{
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=x.length();i++)
      for(int j=0;j<=y.length();j++)
        if(i==0||j==0||x[i-1]!=y[j-1])
          dp[i][j]=0;
        else{
           dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
           ans=max(ans,dp[i][j]);
        }
    return ans;
}

int main()
{
    string x = "abcdef";
    string y = "aebfc";
    cout<<LcsNotContinus(x,y)<<endl;  //3
    cout<<LcsContinus(x,y)<<endl;  //1
    return 0;
}

公共子串要求連續，而公共子序列不要求連續，這裡參考文章：最長公共子串，使用基本方法、DP、字尾陣列等方法解決。

附：

LIS的問題可以通過LCS解決：