Given a string s, find the longest palindromic subsequence's length in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

Example 1:
Input:

"bbbab"

Output:

4

One possible longest palindromic subsequence is "bbbb".

Example 2:
Input:

"cbbd"

Output:

2

One possible longest palindromic subsequence is "bb".

這道題給了我們一個字串，讓我們求最大的迴文子序列，子序列和子字串不同，不需要連續。而關於迴文串的題之前也做了不少，處理方法上就是老老實實的兩兩比較吧。像這種有關極值的問題，最應該優先考慮的就是貪婪演算法和動態規劃，這道題顯然使用DP更加合適。我們建立一個二維的DP陣列，其中dp[i][j]表示[i,j]區間內的字串的最長迴文子序列，那麼對於遞推公式我們分析一下，如果s[i]==s[j]，那麼i和j就可以增加2個迴文串的長度，我們知道中間dp[i + 1][j - 1]的值，那麼其加上2就是dp[i][j]的值。如果s[i] != s[j]，那麼我們可以去掉i或j其中的一個字元，然後比較兩種情況下所剩的字串誰dp值大，就賦給dp[i][j]，那麼遞推公式如下：

              /  dp[i + 1][j - 1] + 2                       if (s[i] == s[j])

dp[i][j] =

              \  max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])        if (s[i] != s[j])

解法一：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int
 
>> dp(n, vector<int>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            dp[i][i] = 1;
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

我們可以對空間進行優化，只用一個一維的dp陣列，參見程式碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size(), res = 0;
        vector<int> dp(n, 1);
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            int len = 0;
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                int t = dp[j];
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[j] = len + 2;
                } 
                len = max(len, t);
            }
        }
        for (int num : dp) res = max(res, num);
        return res;
    }
};

下面是遞迴形式的解法，memo陣列這裡起到了一個快取已經計算過了的結果，這樣能提高運算效率，使其不會TLE，參見程式碼如下：

解法三：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> memo(n, vector<int>(n, -1));
        return helper(s, 0, n - 1, memo);
    }
    int helper(string& s, int i, int j, vector<vector<int>>& memo) {
        if (memo[i][j] != -1) return memo[i][j];
        if (i > j) return 0;
        if (i == j) return 1;
        if (s[i] == s[j]) {
            memo[i][j] = helper(s, i + 1, j - 1, memo) + 2;
        } else {
            memo[i][j] = max(helper(s, i + 1, j, memo), helper(s, i, j - 1, memo));
        }
        return memo[i][j];
    }
};

類似題目：

參考資料：