Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

解法1：列舉法 O(n^2)時間複雜度 常數空間複雜度

列舉中心位置，然後再在該位置上用擴充套件法，記錄並更新得到的最長的迴文長度。（注意奇數長度和偶數長度）

解法2：動態規劃 O(n^2)時間複雜度，O(n^2)空間複雜度

思路：dp[i][j]表示字串s.substr(i,j-i+1) 是否為迴文，是就表示其迴文長度，不是就是0；

以長度為變化，step為i,j的差，狀態方程：dp[i][i+step]=s[i]==s[i+step]&&dp[i+1][i+step-1]!=0?2+dp[i+1][i+step-1]:0;

string longestPalindrome(string s) {
        int n=s.size();
        int dp[n][n];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int longest=0;
        int start=0,end=0;
        for(int step=0;step<n;step++){
            for(int i=0;i+step<n;i++){
                if(step==0) dp[i][i+step]=1;//初始化
                else if(step==1) dp[i][i+step]=s[i]==s[i+step]?2:0;//初始化
                else dp[i][i+step]=s[i]==s[i+step]&&dp[i+1][i+step-1]!=0?2+dp[i+1][i+step-1]:0;
                if(dp[i][i+step]>longest){
                    start=i,end=i+step;
                    longest=dp[i][i+step];
                }
            }
        }
        return s.substr(start,end-start+1);
    }
 

優點：利用之前讀取的資訊，所以快速很多。類似KMP的求next陣列，在這裡求一個數組p，p[i]表示以s[i]為中心的最大回文長度加1.

為了免除奇數和偶數的麻煩，首先需要變化字串，插入'#';

ccd變為#c#c#d#

p陣列為1232121

接下來怎麼計算P[i]呢？Manacher演算法增加兩個輔助變數id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx則為id+P[id]，也就是最大回文子串的邊界。得到一個很重要的結論：

• 如果mx > i，那麼P[i] >= Min(P[2 * id - i], mx - i)

下面，令j = 2*id - i，也就是說j是i關於id的對稱點。

當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]為中心的迴文子串包含在以S[id]為中心的迴文子串中，由於i和j對稱，以S[i]為中心的迴文子串必然包含在以S[id]為中心的迴文子串中，所以必有P[i] = P[j]；

當 P[j] >= mx - i 的時候，以S[j]為中心的迴文子串不一定完全包含於以S[id]為中心的迴文子串中，但是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的迴文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至於mx之後的部分是否對稱，再具體匹配。

此外，對於 mx <= i 的情況，因為無法對 P[i]做更多的假設，只能讓P[i] = 1，然後再去匹配。

string longestPalindrome(string s){
    int n=s.size();
    int p[2*n+1];
    memset(p,0,sizeof(p));
    char *ss=new char[2*n+2];
    for(int i=0;i<2*n+1;i++){
       if(i&0x01) ss[i]=s[(i-1)/2];
       else ss[i]='#';
    }
    ss[2*n+1]='\0';
    int mx=0,id=0;
    int maxIndex=0,max1=0;
    for(int i=0;ss[i]!='\0';i++){
        p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1;
        while(i-p[i]>=0&&ss[i+p[i]]==ss[i-p[i]]) p[i]++;
        if(i+p[i]>mx){
            mx=i+p[i];
            id=i;//id為mx最靠右的中心位置
        }
        if(p[i]>max1){
            max1=p[i];
            maxIndex=i;//maxIndex表示p[i]最大的位置
        }
    }
    //找到p[i]最大的那個
    id=maxIndex;
    if(id&0x01) return s.substr((id-1)/2-(p[id]-1)/2,p[id]-1);
    else return s.substr(id/2-(p[id]-1)/2,p[id]-1);
}