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動態規劃-最長公共子序列

https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5572483.html

一,問題描述

給定兩個字串,求解這兩個字串的最長公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字串1:BDCABA;字串2:ABCBDAB

則這兩個字串的最長公共子序列長度為4,最長公共子序列是:BCBA

 

二,演算法求解

這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題,一般有兩個特徵:①最優子結構;②重疊子問題

①最優子結構

設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列,將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為,我們需要找到X 和 Y中最長的那個公共子序列。而要找X 和 Y的LCS,首先考慮X的最後一個元素和Y的最後一個元素。

1)如果 xn=ym,即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同,這說明該元素一定位於公共子序列中。因此,現在只需要找:LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什麼叫子問題?因為它的規模比原問題小。(小一個元素也是小嘛....)

為什麼是最優的子問題?因為我們要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最長公共子序列啊。。。最長的!!!換句話說,就是最優的那個。(這裡的最優就是最長的意思)

2)如果xn != ym,這下要麻煩一點,因為它產生了兩個子問題:LCS(Xn-1,Ym) 和 LCS(Xn,Ym-1)

因為序列X 和 序列Y 的最後一個元素不相等嘛,那說明最後一個元素不可能是最長公共子序列中的元素嘛。(都不相等了,怎麼公共嘛)。

LCS(Xn-1,Ym)表示:最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示:最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面兩個子問題,得到的公共子序列誰最長,那誰就是 LCS(X,Y)。用數學表示就是:

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由於條件 1)  和  2)  考慮到了所有可能的情況。因此,我們成功地把原問題 轉化 成了 三個規模更小的子問題。

 

②重疊子問題

重疊子問題是啥?就是說原問題 轉化 成子問題後,  子問題中有相同的問題。咦?我怎麼沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊????

OK,來看看,原問題是:LCS(X,Y)。子問題有 ❶LCS(Xn-1,Ym-1)    ❷LCS(Xn-1,Ym)    ❸LCS(Xn,Ym-1)

初一看,這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的,因為它們只重疊了一大部分。舉例:

第二個子問題:LCS(Xn-1,Ym) 就包含了:問題❶LCS(Xn-1,Ym-1),為什麼?

因為,當Xn-1 和 Ym 的最後一個元素不相同時,我們又需要將LCS(Xn-1,Ym)進行分解:分解成:LCS(Xn-1,Ym-1) 和 LCS(Xn-2,Ym)

也就是說:在子問題的繼續分解中,有些問題是重疊的。

 

由於像LCS這樣的問題,它具有重疊子問題的性質,因此:用遞迴來求解就太不划算了。因為採用遞迴,它重複地求解了子問題啊。而且注意哦,所有子問題加起來的個數 可是指數級的哦。。。。

這篇文章中就演示了一個遞迴求解重疊子問題的示例。

那麼問題來了,你說用遞迴求解,有指數級個子問題,故時間複雜度是指數級。這指數級個子問題,難道用了動態規劃,就變成多項式時間了??

呵呵噠。。。。

關鍵是採用動態規劃時,並不需要去一 一 計算那些重疊了的子問題。或者說:用了動態規劃之後,有些子問題 是通過 “查表“ 直接得到的,而不是重新又計算一遍得到的。廢話少說:舉個例子吧!比如求Fib數列。關於Fib數列,可參考:

求fib(5),分解成了兩個子問題:fib(4) 和 fib(3),求解fib(4) 和 fib(3)時,又分解了一系列的小問題....

從圖中可以看出:根的左右子樹:fib(4) 和 fib(3)下,是有很多重疊的!!!比如,對於 fib(2),它就一共出現了三次。如果用遞迴來求解,fib(2)就會被計算三次,而用DP(Dynamic Programming)動態規劃,則fib(2)只會計算一次,其他兩次則是通過”查表“直接求得。而且,更關鍵的是:查詢求得該問題的解之後,就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞迴,是不斷地將問題分解,直到分解為 基準問題(fib(1) 或者 fib(0))

 

說了這麼多,還是要寫下最長公共子序列的遞迴式才完整。借用網友的一張圖吧:)

 

c[i,j]表示:(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。(是長度哦,就是一個整數嘛)。公式的具體解釋可參考《演算法導論》動態規劃章節