http://www.qiujiawei.com/convolution/

數學中的卷積

卷積的wiki：Convolution。

卷積和(convolution sum)的公式是:

y(t)=x(t)∗h(t)=∑τ=−∞∞x(τ)h(t−τ) y(t)=x(t)∗h(t)=∑τ=−∞∞x(τ)h(t−τ)

寫成積分形式是:

x(t)∗h(t)=∫∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ=∫∞−∞x(t−τ)h(τ)dτ x(t)∗h(t)=∫−∞∞x(τ)h(t−τ)dτ=∫−∞∞x(t−τ)h(τ)dτ

要理解這個東西，比較難，一種是公式推導，不過是從傅立葉變換得到的；一種是用狄拉克δ函式來輔助理解（我自認為的）；最後一種是通過線性時不變系統理論LTI system theory。

先講第一種吧。

第一種思路：傅立葉變換與卷積

首先要搬出傅立葉變換的一個推論：

F[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s) F[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)

這個公式意思是，一個時域下的複雜訊號函式可以分解成多個簡單訊號函式的和，然後對各個子訊號函式做傅立葉變換並再次求和，就求出了原訊號的傅立葉變換。這個事實顯然很有用處。

但除了加法之外，還有乘法。這時候有一個問題：是否存在某種新的f(t)和g(t)的結合方式，使得f(t)和g(t)結合後的函式的傅立葉變換結果是F(s)G(s)？

要求這個問題的解，要用倒推法。

首先，設有訊號函式f(x)和g(t)（注意，x、t都是指橫軸變數，只是用來區分開f和g），G(s)、F(s)分別是f(x)和g(t)的傅立葉變換，於是有:

G(s)F(s)=∫∞−∞e−2πistg(t)dt∫∞−∞e−2πisxf(x)dx G(s)F(s)=∫−∞∞e−2πistg(t)dt∫−∞∞e−2πisxf(x)dx

接著做一些變換:

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