卷積碼（convolutional code）是通道編碼的一種。通道編碼被用於物理層，目的是減少因不完美通道造成的誤碼。卷積碼的生成方式是將待傳輸的資訊序列通過線性有限狀態移位暫存器。接收方使用最大似然法解碼（maximum likelihood decoding）。

1. 編碼

1.1. 從編碼器的角度理解編碼過程

  卷積碼的編碼器如圖 1 所示，由 $K$ 個能儲存 $k$ 個位元的 stage 和 $n$ 個莫二加法運算器以及一個 $n$ 位暫存器組成。它的功能是將 $k$ 個位元的原始資訊位元編成 $n$ 位元的通道碼。每輪編碼只能有 $k$ 個位元作為輸入，$n$ 個位元作為輸出。

  當編碼器運作時執行以下操作：

1. stage $K$ 先將原先儲存的位元丟棄，stage $i$ 將儲存的位元轉移至 stage $i+1$；
2. 向 stage $1$ 輸入 k 個欲被編碼的資訊位元；向 stage $1$ 輸入 k 個欲被編碼的資訊位元；
3. 每個 stage 將其所儲存的位元按照預先設定的方式輸入至莫二加法器做莫二加法運算，所得結果被儲存在 $n$ 位暫存器中；每個 stage 將其所儲存的位元按照預先設定的方式輸入至莫二加法器做莫二加法運算，所得結果被儲存在 $n$ 位暫存器中；
4. 將 $n$ 位暫存器的儲存作為該輪輸入的編碼結果輸出。將 $n$ 位暫存器的儲存作為該輪輸入的編碼結果輸出。
5. 以上步驟執行至所有資訊位元被編碼為止。以上步驟執行至所有資訊位元被編碼為止。

  圖 1 為 $n=3$，$k=1$，$K=3$ 卷積碼編碼器，這意味著每輪編碼只能輸入一個位元，有三個位元作為輸出。輸出序列 $C=C_1 C_2 C_3$ 與 stage 之間的關係為：$C_1=S_1$、$C_2=S_1⨁S_2⨁S_3$、$C_3=S_1⨁S_3$。

  以輸入位元“$1$”作為例子，編碼器需要執行以下操作：

1. stage $3$ 將原先儲存的位元“$0$” 丟棄，stage $2$ 將儲存的位元“$0$”轉移至 stage $3$，而 stage $1$ 將儲存的位元“0” 轉移至 stage $2$；
2. 輸入位元“$1$”最後被存入 stage $1$ 中；輸入位元“$1$”最後被存入 stage $1$ 中；
3. 通過莫二加法運算後輸出序列為 $C=C_1 C_2 C_3=111$；通過莫二加法運算後輸出序列為 $C=C_1 C_2 C_3=111$；
4. 該輪編碼結果“$111$”被輸出。該輪編碼結果“$111$”被輸出。

1.2. 從 trellis diagram 的角度理解編碼過程

  一般會將編碼的結果在如圖 2 所示的 trellis diagram上用箭頭表示，這些箭頭被稱為 branch。trellis diagram 上每一行代表編碼的 state，其由 stage $2$ 至 stage $K$ 記憶體儲的位元排列而成，記為 $S=S_2 S_3…S_K$； trellis diagram 上每一列代表被編碼位元的第幾輪輸入。trellis diagram 上每一行與每一列的交匯點被稱為 node，代表每輪編碼時的 state； branch 上標有一些碼字，代表每輪編碼的結果，也即上文提到的 $n$ 位暫存器的儲存內容；所有 branch 組合成一條 path，標識整個編碼過程中 state 的變化情況。

  圖 2 是以“$110$”作為圖 1 編碼器編碼輸入的 trellis diagram，編碼步驟如下：

1. 當時刻為 $t=t_1$ 時，輸入位元“$1$”，此時移位暫存器的儲存為 $S_1 S_2 S_3=100$，state 為 $S=S_2 S_3=00$，編碼輸出為 $C=C_1 C_2 C_3=111$；
2. 當時刻為 $t=t_2$ 時，再次輸入位元“$1$”，此時移位暫存器的儲存為 $S_1 S_2 S_3=110$，因此 state 變為 $S=S_2 S_3=10$，而編碼輸出為 $C=C_1 C_2 C_3=101$；當時刻為 $t=t_2$ 時，再次輸入位元“$1$”，此時移位暫存器的儲存為 $S_1 S_2 S_3=110$，因此 state 變為 $S=S_2 S_3=10$，而編碼輸出為 $C=C_1 C_2 C_3=101$；
3. 當時刻為 $t=t_3$ 時，輸入位元“$0$”，此時移位暫存器的儲存為 $S_1 S_2 S_3=011$，因此 state 變為 $S=S_2 S_3=11$，而編碼輸出為 $C=C_1 C_2 C_3=001$；當時刻為 $t=t_3$ 時，輸入位元“$0$”，此時移位暫存器的儲存為 $S_1 S_2 S_3=011$，因此 state 變為 $S=S_2 S_3=11$，而編碼輸出為 $C=C_1 C_2 C_3=001$；

  完整通道編碼的結果為“$111 101 001$”。值得說明的是，在編碼前所有的 stage 預設攜帶位元“$0$”，所以無論編碼器的輸入是什麼，trellis diagram 上的 path 都從“$00$

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